Considera un sistema de referencia con instante inicial: t_i = 0 correspondiente al comienzo del desplazamiento circular del cuerpo,  con posición angular inicial: θ_i = 0 correspondiente a dicho instante, y con sentido de giro positivo acorde al desplazamiento del cuerpo.

Luego, tienes los demás datos iniciales:

ω_i = 0 (velocidad angular inicial),

α = a determinar (aceleración angular;

Luego, planteas las ecuaciones de posición y de velocidad angular de Movimiento Circular Uniformemente Variado, y queda:

θ = θ_i + ω_i*t + (1/2)*α*t²,

ω = ω_i + α*t,

reemplazas datos iniciales, cancelas términos nulos, y queda:

θ = (1/2)*α*t² (*),

ω = ω_i + α*t (**).

Luego, considera que el instante en el cuál el cuerpo pasa por el primer punto es: t = t₁, sustituyes esta expresión en la ecuación señalada (*), y queda:

θ₁ = (1/2)*α*t₁² (1).

Luego, considera que el instante en el cuál el cuerpo pasa por el segundo punto es: t = t₂, sustituyes esta expresión en la ecuación señalada (*), y queda:

θ₂ = (1/2)*α*t₂² (2).

Luego, tienes el intervalo de tiempo en estudio:

Δt = 2 min = 120 s, sustituyes la expresión del intervalo en el primer miembro, y queda:

t₂ - t₁ = 120 s (3), y de aquí despejas:

t₁ = t₂ - 120 s (3*).

Luego, tienes la expresión del desplazamiento angular del cuerpo entre los dos puntos en estudio: 

Δθ = 24 rev, expresas en radianes al segundo miembro, y queda:

Δθ = 48π rad, sustituyes la expresión del desplazamiento en el primer miembro, y queda:

θ₂ - θ₁ = 48π (4). 

Luego, restas miembro a miembro la ecuación señalada (1) de la ecuación señalada (2), y queda:

θ₂ - θ₁ = (1/2)*α*t₂² - (1/2)*α*t₁², extraes factores comunes en el segundo miembro, y queda:

θ₂ - θ₁ = (1/2)*α*(t₂² - t₁²), factorizas el tercer factor en el segundo miembro (observa que tienes una resta de cuadrados), y queda:

θ₂ - θ₁ = (1/2)*α*(t₂ - t₁)*(t₂ + t₁),

aquí reemplazas el valor señalado (4) en el primer miembro, reemplazas el valor señalado (3) en el segundo factor del segundo miembro, resuelves el coeficiente, y queda:

48π = 60*α*(t₂ + t₁), sustituyes la expresión señalada (3*) en el tercer factor del segundo miembro, reduces términos semejantes, y queda:

48π = 60*α*(2*t₂ - 120), extraes factor común (2) en el último factor, resuelves el coeficiente en el segundo miembro, y queda:

48π = 120*α*(t₂ - 60), divides por 24 en ambos miembros, y queda:

2π = 5*α*(t₂ - 60) (5).

Luego, tienes la frecuencia de giro del cuerpo cuando pasa por el segundo punto en estudio: f₂ = 18 rev/min, con ella planteas la expresión de la velocidad angular correspondiente, y queda:

ω₂ = 2π*f₂ = 2π*18 = 36π rad/s;

luego, reemplazas la expresión del instante correspondiente, y el valor de la velocidad angular del cuerpo cuando pasa por el segundo punto que recién hemos calculado, todo en la ecuación de velocidad angular señalada (**), y qeuda:

36π = α*t₂, y de aquí despejas:

t₂ = 36π/α (6).

Luego, sustituyes la expresión señalada (6) en el último factor de la ecuación señalada (5), y queda:

2π = 5*α*(36π/α - 60), distribuyes el segundo miembro, y queda:

2π = 180π - 300α, restas 180π en ambos miembros, y queda:

-178π = -300α, aquí divides por -300 en ambos miembros, y luego despejas:

α = 89π/150 rad/s² ≅ 1,864 rad/s², que es el valor de la aceleración angular del cuerpo.

Luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (6), resuelves, y queda:

t₂ = 5400π/89 s ≅ 190,613 s ≅ 3 m 10,613 s, que es el instante en el cuál el cuerpo pasa por el segundo punto en estudio.

Luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (3*), y queda:

t₁ = 5400π/89 - 120 ≅ 70,613 s, que es el instante en el cuál el cuerpo pasa por el primer punto en estudio.

Luego, reemplazas el valor de la aceleración y del instante correspondiente al primer punto en estudio en la ecuación señalada (1), y queda:

θ₁ ≅ (1/2)*1,864*70,613², resuelves,  queda:

θ₁ ≅ 4647,163 rad ≅ 4647/(2π) ≅ 739,619 rev,

por lo que puedes concluir que este último valor remarcado es la cantidad de revoluciones que da el cuerpo entre el punto de partida y el paso por el primer punto en estudio.

Espero haberte ayudado.

Por favor envía foto con el enunciado completo del problema que motiva tu consulta para que podamos ayudarte.

En ningún caso es constante, lo único es que invertimos el signo

4)

a) Has respondido y justificado correctamente.

b) Has respondido y justificado correctamente.

c) Has respondido correctamente, y puedes justificar diciendo que la fuerza total aplicada por los chicos tiene la misma dirección y el mismo sentido que el desplazamiento del auto, por lo que tienes que el trabajo realizado queda expresado:

W = F_T*Δs ≠ 0.

5)

Observa que la bala tiene energía cinética inicial, y que al final queda en reposo incrustada en la pared, y tienes los datos:

v_i = 300 m/s (rapidez inicial de la bala, cuando está a punto de tocar la pared),

v_f = 0 (rapidez final de la bala, que queda en reposo e incrustada dentro de la pared),

Δs = 20 cm = 0,2 m (desplazamiento de la bala dentro de la pared),

M_b = no consignada en tu enunciado (masa de la bala).

a)

Planteas la expresión de la variación de la energía cinética de traslación de la bala, y queda:

ΔEC = EC_f - EC_i = (1/2)*M_b*v_f² - (1/2)*M_b*v_f² = (1/2)*M_b*0² - (1/2)*M_b*0,2² = 0 - (1/2)*M_b*0,04 = -0,02*M_b (en Joules).

b)

Planteas la ecuación trabajo-variación de energía cinética, y queda (observa que la única fuerza aplicada sobre la bala es la fuerza de rozamiento que la pared ejerce sobre ella):

W_fr = ΔEC = -0,02*M_b (en Joules),

y observa que el signo negativo te indica que el sentido de la fuerza de rozamiento es opuesto al sentido de desplazamiento de la bala.

c)

Planteas la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento en función del módulo de la fuerza de rozamiento y del módulo del desplazamiento de la bala, (recuerda que el sentido de la fuerza de rozamiento es opuesto al sentido del desplazamiento de la bala), y queda:

W_fr = -fr*Δs, sustituyes la expresión del trabajo que ya tienes determinada en el primer miembro, y queda:

-0,02*M_b = -fr*Δs, reemplazas el valor del módulo del desplazamiento de la bala, y queda:

-0,02*M_b = -fr*0,2, aquí divides por -0.2 en ambos miembros, y luego despejas:

fr = 0,1*M_b (en Joules).

Luego, observa que todas las respuestas están expresadas en función de la masa de la bala, por cuyo valor deberás consultar a tus docentes.

Espero haberte ayudado.

Establece un sistema de referencia, con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo, con origen de coordenadas en la posición de equilibrio cuando el cuerpo más masivo está colgado y en reposo.

Luego, considera la situación con los dos cuerpos colgados y en reposo, aplicas la Primera Ley de Newton, y queda la ecuación (observa que sustituimos las expresiones de los pesos de los cuerpos y de la fuerza de acción elástica del resorte):

M₁*g + M₂*g = k*ΔL_i, y de aquí despejas:

k = (M₁ + M₂)*g/ΔL_i, 

reemplazas datos (M₁ = 2,0 Kg, M₂ = 0,5 Kg, g = 9,8 m/s², ΔL_i = 4,0 cm = 0,0040 m), resuelves, y queda:

k = 612,5, que es el valor de la constante elástica del resorte.

Luego, al quitar el cuerpo menos masivo, observa que el cuerpo más masivo oscilará armónicamente con centro en su posición de equilibrio, y observa que la amplitud de oscilación es:

A = ΔL_i = 0,040 m.

Luego, planteas la expresión de la frecuencia de oscilación en función de la constante elástica del resorte y de la masa del oscilador, y queda:

f = (1/2π)*√(k/M₁), reemplazas valores, resuelves el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

f = (1/2π)*√(306,25), resuelves, y queda:

f ≅ 2,785 Hz.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Establece un sistema de referencia con instante inicial: t_i = 0 correspondiente al inicio del desplazamiento del primera auto, con eje OX con dirección acorde a los desplazamientos de los dos autos, con sentido positivo acorde al desplazamiento del primer auto.

Luego, para el primer auto, tienes los datos:

t_1i = 0 (instante inicial),

x_1i = 0 (posición inicial),

v₁ = 100 m/s (velocidad);

luego, planteas la ecuación de posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme, y queda:

x₁ = x_1i + v₁*(t - t_1i), reemplazas datos, cancelas términos nulos, y queda:

x₁ = 100*t (1).

Luego, para el segundo auto, tienes los datos:

t_2i = 10 s (instante inicial),

x_2i = 2000 m (posición inicial),

v_2i = -20 m/s (velocidad inicial, aquí presta atención a su sentido),

a₂ = -5 m/s₂ (aceleración, aquí presta atención a a su sentido);

luego, planteas la ecuación de posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, y queda:

x₂ = x_2i + v_2i*(t - t_2i) + (1/2)*a₂*(t - t_2i)² reemplazas datos, resuelves coeficientes, y queda:

x₂ = 2000 - 20*(t - 10) - 2,5*(t - 10)² (2).

Luego, tienes la situación en estudio, para la que tienes dos opciones:

1°)

x₂ - x₁ = 100 m, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1), y queda:

2000 - 20*(t - 10) - 2,5*(t - 10)² - 100*t = 100,

y queda para ti que desarrolles términos, reduzcas términos semejantes, y luego resuelvas una ecuación polinómica cuadrática;

2°)

x₁ - x₂ = 100 m, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1), y queda:

100*t - [2000 - 20*(t - 10) - 2,5*(t - 10)²] = 100, distribuyes el signo en el segundo término, y queda:

100*t - 2000 + 20*(t - 10) + 2,5*(t - 10)² = 100,

y queda para ti que desarrolles términos, reduzcas términos semejantes, y luego resuelvas una ecuación polinómica cuadrática;

y observa que obtendrás los valores de los instantes correspondientes a la situación en estudio, los que deberán ser positivos.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Te recomiendo veas este vídeo ;)

Gracias, pero pregunto por los momentos para evitar vuelcos.

Establece un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, con origen de coordenadas a nivel del fondo del depósito.

Luego, considera un punto A que está en la superficie de contacto con el aire y la masa de líquido dentro del depósito, y para él tienes los datos (observa que consideramos que el valor de la presión atmosférica normal es: P_at = 101300 Pa):

p_A = 2 atm = 2*101300 = 202600 Pa,

v_A ≅ 0 (consideramos que el nivel de líquido desciende muy lentamente),

y_A = 20 m.

Luego, considera un punto B que está en la superficie del fondo del depósito, y para él tienes los datos:

p_B = a determinar

v_B ≅ 0 (consideramos que el se desplaza muy lentamente),

y_B = 0.

Luego, considera un punto C que está en la boca de la manguera, y para él tienes los datos:

p_C = P_at = 1 atm = 101300 Pa,

v_C = a determinar,

y_C ≅ 0 (consideramos que la boca de la manguera está prácticamente al mismo nivel que el fondo del depósito).

Luego, considera el punto D, que es el punto más alto que alcanza el chorro de agua que sale de la manguera, cuando ésta está orientada con dirección vertical, con su boca hacia arriba, y para este punto tienes: 

p_D = P_at = 1 atm = 101300 Pa,

v_D = 0,

y_D = a determinar.

a)

Planteas la Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B, y queda la ecuación:

p_B + (1/2)*δ_L*v_B² + δ_L*g*y_B = p_A + (1/2)*δ_L*v_A² + δ_L*g*y_A, cancelas los términos nulos, y queda:

p_B = p_A + δ_L*g*y_A,

reemplazas datos en esta última ecuación remarcada (observa que el líquido es agua, por lo que el valor de su densidad de masa es: δL = 1000 Kg/m³, y que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es: g = 9,8 m/s²), y queda:

p_B = 202600 + 1000*9,8*20 = 202600 + 196000 = 398600 Pa.

b)

Observa que el área de sección transversal de la manguera es constante en toda su longitud, planteas la Ecuación de Bernoulli entre los puntos B y C, y queda la ecuación:

p_C + (1/2)*δ_L*v_C² + δ_L*g*y_C = p_A + (1/2)*δ_L*v_B² + δ_L*g*y_B, cancelas los términos nulos, y queda:

p_C + (1/2)*δ_L*v_C² = p_B, restas (1/2)*δ_L*v_C² en ambos miembros, y queda:

(1/2)*δ_L*v_C² = p_B - p_C, multiplicas por 2 y divides por  en ambos miembros, y queda:

v_C² = 2*(p_B - p_C)/δ_L, extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:

v_C = √(2*(p_B - p_C)/δ_L),

reemplazas datos y el valor obtenido en el inciso anterior que tienes remarcado, y queda:

v_C = √(2*(398600 - 101300)/1000) = √(594,6) m/s ≅ 24,384 m/s.

c)

Planteas la Ecuación de Bernoulli entre los puntos C y D (observa que consideramos que no se pierde masa de líquido en el tránsito de la masa de agua entre estos dos puntos), y queda:

p_D + (1/2)*δ_L*v_D² + δ_L*g*y_D = p_C + (1/2)*δ_L*v_C² + δ_L*g*y_C, cancelas los términos nulos, y queda:

p_D + δ_L*g*y_D = p_C + (1/2)*δ_L*v_C², restas pD en ambos miembros, asocias términos semejantes, y queda:

δ_L*g*y_D = (p_C - p_D) + (1/2)*δ_L*v_C², cancelas el término nulo (observa que las presiones en los puntos C y D son iguales), y queda:

δ_L*g*y_D = (1/2)*δ_L*v_C², divides por  y divides por g en ambos miembros, y queda:

y_D = (1/2)*v_C²/g,

reemplazas datos y el valor obtenido en el inciso anterior que tienes remarcado, y queda:

y_D = (1/2)*[√(594,6)]²/9,8 = (1/2)*594,6/9,8 ≅ 30,337 m.

Espero haberte ayudado.

Es que mi profesor, tras haberlo realizado como tú indicas, me ha dicho que no se puede hacer así, que se tiene que hacer con la ecuación de continuidad y realmente no sé hacerlo asi.

En ese caso, agregamos un punto E, a nivel de la conexión entre la manguera y el depósito, pero que se encuentre levemente por debajo del nivel del tanque, y para él tienes los datos:

p_E = a determinar,

v_E = a determinar,

y_E = 0.

Luego, planteas la Ecuación de Bernoulli entre el punto B y el punto E, planteas la ecuación de caudal (o de continuidad) entre el punto E y el punto C (observa que el área de sección transversal de la manguera es constante), y quedan las ecuaciones:

p_E + (1/2)*δ_L*v_E² + δ_L*g*y_E = p_C + (1/2)*δ_L*v_C² + δ_L*g*y_C,

A*v_E = A*v_C,

cancelas los términos nulos en la primera ecuación, divides por A en ambos miembros de la segunda ecuación, y queda:

p_E + (1/2)*δ_L*v_E² = p_C + (1/2)*δ_L*v_C² + δ_L*g*y_C (1*),

v_E = v_C, (2*);

luego, tienes el valor de la rapidez del líquido en el punto C para reemplazarlo en la ecuación señalada (2*), y una vez resuelta ésta, puedes reemplazar el valor obtenido para obtener a su vez el valor de la rapidez del líquido en el punto E, más otros datos que ya tienes en la ecuación señalada (1*), para finalmente despejar el valor de la presión en el punto E.

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión de la función de onda, en unidades internacionales (observa que la longitud de onda es: λ = 250 cm = 2,5 m):

y(x,t) = 5*cos(2π*[t/8 + x/2,5]) (1), 

de donde tienes los datos adicionales:

A = 5 m (amplitud de oscilación de cada punto de la onda),

T = 8 s (periodo de oscilación),

λ = 2,5 m (longitud de onda),

δ = 0 (fase inicial).

a)

Planteas la expresión de la rapidez de propagación de la onda (observa que avanza con sentido negativo del eje OX), en función de la longitud de onda y del periodo de oscilación, y queda:

v = λ/T = 2,5/8 = 0,3125 m/s.

b)

Considera un punto fijo, por ejemplo el punto cuya abscisa es: x = 0,

reemplazas este valor en la expresión de la función de onda señalada (1), cancelas el término nulo en el argumento del coseno, y queda:

y(0,t) = 5*cos(2π*[t/8]), resuelves y simplificas en el argumento del coseno, y queda:

y(0,t) = 5*cos([π/4]*t) (2), que es la expresión de la elongación del punto en estudio, como función del tiempo.

Luego, evalúas la expresión señalada (2) para t = 0, resuelves el argumento del coseno, y queda:

y(0,0) = 5*cos(0) (3).

Luego, evalúas la expresión señalada (2) para t = 1 s, resuelves el argumento del coseno, y queda:

y(0,1) = 5*cos(π/4) (4).

Luego, planteas la diferencia entre los argumentos del coseno de las expresiones señaladas (4) (3), y queda:

Δθ = π/4 - 0 = π/4 rad.

c)

Considera un instante fijo, por ejemplo: t = 0,

reemplazas este valor en la expresión de la función de onda señalada (1), cancelas el término nulo en el argumento del coseno, y queda:

y(x,0) = 5*cos(2π*[x/2,5]), resuelves y simplificas en el argumento del coseno, y queda:

y(x,0) = 5*cos(0,8π*x) (5), que es la expresión que describe la forma de la onda en el instante en estudio, como función de la posición de sus puntos.

Luego, evalúas la expresión señalada (5) para el punto fijo cuya abscisa es: x = 0, resuelves el argumento del coseno, y queda:

y(0,0) = 5*cos(0) (6).

Luego, evalúas la expresión señalada (5) para el punto fijo cuya abscisa es: x = 200 cm = 2 m, resuelves el argumento del coseno, y queda:

y(2,0) = 5*cos(1,6π) (7).

Luego, planteas la diferencia entre los argumentos del coseno en las expresiones señaladas (7) (6), y queda:

Δx = 1,6π - 0 = 1,6π = 8π/5 rad.

d)

Considera la expresión señalada (2):

y(0,t) = 5*cos([π/4]*t) (8);

luego, planteas la condición del valor de la función de onda en estudio: y(0,t) = 4 cm = 0,04 m, y queda:

y(0,t) = 0,04, sustituyes la expresión señalada (8) en el primer miembro, y queda:

5*cos([π/4]*t) = 0,04, divides por 5 en ambos miembros, y queda:

cos([π/4]*t) = 0,008, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

[π/4]*t ≅ 1,563, multiplicas por 4 y divides por π en ambos miembros, y queda:

t ≅ 1,990 s (9);

luego, considera el valor del segundo instante en esutudio ("2 s después"): t ≅ 1,990 + 2 ≅ 3,990 s,

evalúas la expresión de la elongación señalada (8) para este valor, resuelves el argumento del coseno, y queda:

y(0,3990) ≅ 5*cos([π/4]*3,990) ≅ 5*cos(π) ≅ 5*(-1) ≅ -5 m;

luego, planteas la expresión de la diferencia entre las elongaciones, y queda:

Δy ≅ -5 - 0,04 ≅ -5,04 m.

Espero haberte ayudado.

a)

Observa que la barra desciende con velocidad constante, y que sobre ella están aplicadas dos fuerzas verticales: su peso (con sentido hacia abajo), y la fuerza de acción magnética (cuyo sentido es hacia arriba), por lo que aplicas la Primera Ley de Newton (consideramos un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo según tu figura), y tienes la ecuación:

P - F_m = 0, restas P y luego multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

F_m = P, sustituyes la expresión del módulo del peso, y queda:

F_m = M*g, sustituyes la expresión del módulo de la fuerza de acción magnética, y queda:

I*L*|B| = M*g, aquí divides por L y por |B| en ambos miembros, y queda:

I = M*g/(L*|B|) (1).

Luego, planteas la expresión del valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida, y queda:

|ε_i| = dΦ/dt, sustituyes la expresión del diferencial de flujo magnético que atraviesa la región rodeada por el circuito, y queda:

|ε_i| = d(B•A)/dt, desarrollas el producto escalar (observa que el campo magnético y el vector normal al área son paralelos), y queda:

|ε_i| = d(|B|*|A|*cos[0])/dt, resuelves y extraes factores constantes en el segundo miembro, y queda:

|ε_i| = |B|*dA/dt, expresas al diferencial de área en función de su ancho (L) y de su largo (dy), y queda:

|ε_i| = |B|*L*dy/dt, sustituyes la expresión remarcada (observa que es la expresión de la velocidad de la varilla), y queda:

|ε_i| = |B|*L*v (2).

Luego, planteas la expresión del módulo de la fuerza electromotriz inducida de acuerdo con la Ley de Ohm, y queda:

|ε_i| = R*I, sustituyes la expresión señalada (2) en el segundo miembro, y queda:

|B|*L*v = R*I (3).

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en el segundo miembro de la ecuación señalada (3), y queda:

|B|*L*v = R*M*g/(L*|B|), multiplicas por |B| y por L, y divides por v en ambos miembros, y queda:

|B|²*L² = R*M*g/v, extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros (observa que resolvemos el primer miembro), y queda:

|B|*L = √(R*M*g/v), multiplicas por 1/L en ambos miembros, y queda:

|B| = (1/L)*√(R*M*g/v);

luego, sustituyes esta última expresión remarcada en la ecuación señalada (3), y queda:

(1/L)*√(R*M*g/v)*L*v = R*I, simplificas factores en el primer miembro, y queda:

√(R*M*g/v)*v = R*I, introduces el factor (v) en la raíz del primer miembro, simplificas el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

√(R*M*g*v) = R*I, divides por R en ambos miembros, y queda:

√(R*M*g*v)/R = I, introduces el divisor (R) en la raíz del primer miembro, simplificas en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

√(M*g*v/R) = I, y de aquí despejas:

I = √(M*g*v/R).

Luego, queda que reemplaces datos: L = 40 cm = 0,4 m, R = 4,0 Ω, M = 50 g = 0,05 Kg, g = 9,8 m/s², v = 3,06 m/s) y hagas los cálculos.

Por último, observa que las líneas del campo magnéticos son salientes en tu figura, y observa además que el área que atraviesan aumenta, por lo que tienes que el flujo magnético es saliente y está aumentando a medida que la varilla se desliza hacia abajo; 

luego, de acuerdo con la Ley de Lenz, tienes que la corriente eléctrica inducida en el circuito debe tener sentido horario, para que el campo magnético inducido por ella tenga sentido entrante a la espira.

Espero haberte ayudado.