Buenas, Unicoos solo llega hasta bachillerato. La EDO(ecuación diferencial ordinaria) que has puesto no es exacta, pero te dice que g(t,y)=t^(-3)·f(y/t) es un factor integrante. Entonces, si multiplicas por g(t,y) toda la EDO, la ecuación debe de ser exacta, es decir, si M(t,y)=g(t,y)·(t²y+y³-ty) y N(t,y)=g(t,y)·t² la EDO M(t,y)dt+N(t,y)dy=0 es exacta, es decir, la derivada parcial de M respecto de y es igual a la derivada parcial de N respecto de t. Te saldrá una EDO dónde tendrás que buscar el valor de f(y/t). Una vez hecho eso, pues resuelves la EDO que preguntas.
Sería interesante que mandaras lo que vas haciendo para poder ayudarte en donde te equivocas.
Saludos

@bercp como vera ahi esta la foto del procedimiento que hice vealo y dime donde me equivoque

Hay una propiedad en las potencias que es (a/b)^2 = a^2 / b^2 y por ello lo puede separa y luego hace identidades notables con el cuadrado del numerador.

Recuerda que el cuadrado de una división es igual al cuadrado del numerador entre el cuadrado de el denominador :)

racionalizacion y multiplicacion de raices, mirate este video y alguno de los que este en esa misma seccion: http://www.unicoos.com/unicoosWeb/videos/video/2083

Respondiendo tu pregunta se utilizo una propiedad matemática muy conocida llamada factorización pues ax+bx = x(a+b) , multiplia x por a y b y llegaras a ax+bx eso fue lo que se hizo, es como un proceso inverso. Saludos

Hola, se uso factor comun. En el ejercicio está:
5ⁿ*5² - 5ⁿ Si sacas factor común 5ⁿ te queda 5ⁿ*(5² - 1)
Se lee 5ⁿ factor de 5² - 1 y la forma de comprobar que esta bien es multiplicando miembro a miembro.
Espero te ayude. Saludos.

Ah Bien, Ahora si lo entendí. Muchas Gracias!!!!

La derivada de tu funcion aplicando la definicion es limh->0 [f(0+h)-f(0)]/h= limh->0 [[(2(0+h)²- 1+cos (0+h)/(e^(0+h)-1)] -0] /h =
= limh->0 [[(2h²-1+cosh)/(e^h-1)]] /h = limh->0 (2h²-1+cosh) / [(e^h-1)h] = 0/0... limh->0 (4h-senh) / [e^h. h +e^h-1] = 0/0
.... limh->0 (4-cosh) / [e^h. h +e^h+e^h] = (4-1)/2=3/2

¿mejor? Te sugiero los videos de "derivada aplicando la definicion" y los de derivabilidad...
Derivabilidad
Definición de derivada
#nosvemosenclase

Muchas gracias, David.

Pero me surge una duda... ¿por qué en el cálculo de la derivada por definición simplificaste el valor de x pero no el valor de h, siendo que x y h tienden a 0 por igual?

Buenas, hay una definición equivalente para el cálculo de la derivada mucho más sencilla, al menos desde mi punto de vista.
f'(a)=lím(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a). Verás como ahora te resulta más fácil aplicar L'Hopital . Si no te sale, pon lo que hayas hecho para ver el fallo.
Saludos

Buenos días, como el cambio que te pide no se encuentra en la integral, multiplica y divide por el conjugado de √(x+1)+1, es decir, √(x+1)-1. En el numerador te queda √(x+1)+1 y en el denominador, [√(x+1)+1]·[√(x+1)-1] Si usamos las identidades notables y operando te queda x. Intenta ahora, el cambio. Cuando termines y sustituyas te tiene que dar, como integrando, 2(t+1)/(t+2). Para resolver esta integral, sacas el dos fuera de la integral y a continuación le sumas y restas 1 al numerador separando la integral como 1-1/(t+2) . Integras eso y deshaces el cambio. ¡Ten cuidado que el dos lo has sacado fuera! ¡Qué no se te olvide! Con estos cálculos, has calculado una primitiva y a continuación, usa la regla de Barrow.
Si tienes problemas al calcular la primitiva, sube una imagen con lo que llevas hecho. Saludos

Yo habría hecho el cambio de variable t²=x+1 y habría sido más fácil e intuitivo...
Derivando quedaría... dx=2t.dt
Y al sustituir, la integral sería la de 2t.dt/(1+t).
A partir de ahí, la resolvería como una integral racional simple, empezando por dividir los polinomios…
Como en este video… Integral racional simple
Espero te ayude...

Muy bueno David, pero es que el enunciado ponía que hiciera ese cambio. Eso es lo peor. De ahí que se complique.
Un abrazo

Buenas he resuelto la integral, David tu cambio si resulta efectivo y queda una integral sencilla pero Ber CP si pudieras mandarmela hecha como tu dices con el conjugado porque he hecho mil veces el conjugado y no hay forma de poder sustituir ese cambio porque te cambia el signo de dentro de la raiz y aunque le hagas el conjugado lo de dentro de la raiz no cambia pero puede ser que me haya equivocado, por favor si la puedes hacer me harias un favor porque de veras me tiene rallado la integral con ese cambio jajaaj si pruebas y no te sale comprueba con el cambio de David con ese si se resuelve facilmente un saludo y mil gracias!!!!

Si pudieras adjuntar una imagen en mejor calidad seria excelente ya que casi no se distingue nada.

Cargare los ejercicios por separado; es decir, uno por uno

Hola, no estoy muy seguro pero, solo viendo las ecuaciones, te diría que integrando cada lado de la ecuación se llega al resultado final.
(Temperatura, Presión y μ son constantes por lo que salen de la integral)
∫dU = ∫(TdS-PdV+ μdN)
∫dU = ∫TdS - ∫PdV + ∫μdN
∫dU = T∫dS - P∫dV + μ∫dN
U = TS - PV + μN
Pero, repito, no estoy seguro.

También me vino a la mente pero igual no estoy segura, al menos ahora sé que es una buena posibilidad.
¡Muchísimas gracias Julián ! :)

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