Tienes la integral doble en coordenadas cartesianas:

I = ∫∫_A arcsen(x²+y²)*dx*dy.

Luego, plantea el cambio a coordenadas polares:

x = r*cosθ,

y = r*senθ,

con el factor de compensación (Jacobiano): |J| = r,

con los intervalos de integración que tienes en tu enunciado.

Luego, sustituyes (observa que el argumento del arco seno queda: x²+y² = r²), y la integral queda:

I = ∫∫_A arcsen(r²)*r*dr*dθ.

Luego, puedes plantear la sustitución (cambio de variable:

r² = w, de donde tienes: r = √(w), también tienes: 2r*dr = dw, también tienes: r*dr = (1/2)*dw,

y observa que el intervalo de integración queda: 0 ≤ w ≤  senθ.

Luego, sustituyes, extraes el factor constante, y la integral queda:

I = (1/2)*∫∫_A arcsen(w)*dw*dθ,

que es una integral que puedes resolver con el Método de Integración por Partes (revisa tus apuntes de clase) para la variable w, lo haces, y la integral queda (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow):

I = ₀∫^π/2 [ w*arcsenw + √(1-w²) ]*dθ,

evalúas para la variable w (recuerda que su intervalo de integración es: 0 ≤ w ≤  senθ), y queda:

I = ₀∫^π/2 ( (θ*senθ + cosθ) - (0 - 1) )*dθ =  ₀∫^π/2 (θ*senθ + cosθ + 1)*dθ,

y puedes continuar la tarea (observa que debes integrar término a término, y que en el primer término puedes aplicar el Método de Integración por Partes, que en los dos últimos términos puedes integrar en forma directa.

Espero haberte ayudado.

no tengo certeza de que sea cierto lo que dices porque pareciera que estas subiendo toda la tarea asi que es con el ultimo que te ayudare esperemos otro unicoo se anime a ayudarte , saludos 

Puedes mirarlo en geogebra o en desmos

Tienes la abscisa del punto de contacto: x = e, que al evaluar en la expresión de la función queda:

f(e) = 1 + ln(e) = 2,

por lo que tienes que la ordenada del punto de contacto es: y = 2, y el punto queda expresado: A(e,2).

Luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = 1/x, que al evaluarla para x = e, queda: f ' (x) = 1/e,

por lo que tienes que la pendiente de la recta tangente es: m = 1/e.

Luego, planteas la ecuación punto-pendiente, y la ecuación cartesiana de la recta tangente queda:

y - 2 = (1/e)*(x - e), distribuyes, sumas 2 en ambos miembros, y queda:

y = (1/e)x + 1, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto A.

Luego, haz un gráfico y verás que la gráfica de la función, el eje de abscisas y la recta tangente determinan una región parecida a un triángulo, cuyos vértices quedan determinados:

la intersección de la recta tangente con el eje OX, para ello planteas: 

0 = (1/e)x + 1, de donde puedes despejar: x = -e, y el vértice queda expresado: B(-e,0);

la intersección de la gráfica de la función con el eje OX, para ello planteas:

0 = 1 + lnx, de donde puedes despejar: x = e^-1 = 1/e, y el vértice queda expresado: C(1/e,0);

y el tercer vértice es el punto: A(e,2).

Luego, observa que la región está limitada por la izquierda por la recta tangente, y por la derecha por la gráfica de la función, por lo que puedes plantear las ecuaciones de dichas curvas en forma explícita para la variable x:

x = e*y - e (para la recta tangente);

x = e^y-1 (para la gráfica de la función.

Luego, puedes plantear la expresión del área de la región, en función de la variable y:

A = ₀∫² ( e^y-1 - (e*y - e) )*dy = ₀∫² ( e^y-1 - e*y + e )*dy,

integras término a término (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

A = [ e^y-1 - (e/2)*y² + e*y ] = evalúas = ( e - 2e + 2e ) - ( e^-1 - 0 + 0 ) = e - e^-1.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que una función definida con valor absoluto puede expresarse a trozos, y en este caso tienes:

f(x) = x*|x-2| = 

-x*(x-2)            si x < 2,

 x*(x-2)            si x ≥ 2;

y observa que la función tiene dominio R, y que es continua en todo su dominio, en particular en el valor de corte: a = 2.

Luego, puedes plantear la definición de derivada para plantear las derivadas laterales el valor de corte:

f_- ' (2) = Lím(h→0-) ( f(2+h) - f(2) )/h = Lím(h→0-) ( -(2+h)*(2+h-2) - 0 )/h = 

          = Lím(h→0-) ( -(2+h)*h/h ) = Lím(h→0-) ( -(2+h) ) = -2,

f₊ ' (2) = Lím(h→0+) ( f(2+h) - f(2) )/h = Lím(h→0+) ( (2+h)*(2+h-2) - 0 )/h = 

          = Lím(h→0-) ( (2+h)*h/h ) = Lím(h→0-) ( (2+h) ) = 2,

y como las derivadas laterales son diferentes, tienes que la función no es derivable en el valor de corte: a = 2;

luego, aplicas la regla de derivación para las expresiones de las ramas, y la expresión de la función derivada queda:

f ' (x) =

-2x + 2                             si x < 2

no está definida            si x = 2

 2x - 2                              si x > 2.

Luego, dsitribuyes en la expresión de la función, y queda expresada:

f(x) = x*|x-2| = 

-x² + 2x            si x < 2,

 x² - 2x             si x ≥ 2;

luego, observa que la primera expresión corresponde a un trozo de parábola, que pasa por el origen y que tiene eje de simetría x = 1, con sus ramas hacia abajo, y observa que también cortaría al eje OX en el valor de corte a = 2, pero observa que a este trozo le corresponden todos los puntos de la parábola cuyas abscisas son estrictamente menores que 2 (en un gráfico, le corresponde el trozo de parábola que se encuentra "a la izquierda del punto de corte, sin incluirlo").

luego, observa que la segunda expresión corresponde a un trozo de parábola, que pasa por el origen y que tiene eje de simetría x = 1, con sus ramas hacia arriba, y observa que también corta al eje OX en el valor de corte a = 2, pero observa que a este trozo le corresponden todos los puntos de la parábola cuyas abscisas son mayores o iguales que 2 (en un gráfico, le corresponde el trozo de parábola que se encuentra "a la derecha del punto de corte, incluyéndolo").

Luego, observa que solamente el primer trozo determina una región limitada por la gráfica y el eje OX (observa que es parecida a una semicircunferencia, con el eje de abscisas que la limita "por debajo", la gráfica correspondiente a la primera rama que la limita "por arriba"), con vértices en los puntos (0,0) y (2,0).

Luego, puedes plantear para el área de la región:

A_R = ₀∫² (-x² + 2x)*dx = integras = [ -(1/3)x³ + x² ] = evalúas = (-8/3 + 4) - (0 + 0) = 4/3.

Espero haberte ayudado.

puedes usar lhoptal?

hay algo incorrecto supongo que falta un cuadrado revisa 

Coincido con edwin...

f(x)= -10x²+20x

Derivamos:

f´(x)=-20x+20

Igualamos la derivada a cero

f´(x)=-20x+20=0

20x=20

x=1 segundo tarda en alcanzar la altura máxima

Sustituimos x=1 en f(x)

f(x)= -10x²+20x

f(1)= 10 metros es la altura máxima que alcanza

Al tratarse de un tiro parabólico ( f(x) es una parábola), creo recordar que:

Si alcanzó la altura máxima en un segundo (estuvo subiendo), estará bajando el mismo tiempo, luego 1+1= 2 segundos tarda en llegar al suelo.

Si tu enunciado definitivamente es correcto, la respuesta sería algo así:

f(x)= -10x+20x

f(x)= 10x

Esa pelota nunca la recuperarías, se iría hacia el infinito y más allá; jamás volvería al suelo desde donde la "arrojaste hacia arriba".