Ánimo!

Basicamente tienes que demostrar que x^n - y^n = (x-y)*(.....)

Un poco tedioso de explicar por aquí aunque la solución se puede entender perfectamente. Te dejo un link bien demostrado:

https://math.stackexchange.com/questions/117660/proving-xn-yn-x-yxn-1-xn-2-y-x-yn-2-yn-1#117664

d

Recuerda las primeras potencias de la unidad imaginaria:

i⁰ = 1, i¹ = i, i² =-1, i³ = -i, i⁴ = 1.

a)

Tienes las potencias:

i⁵ = i⁴⁺¹ = i⁴*i¹ = 1*i = i,

i^-5 = (i^-5)*i⁸/i⁸ = i^-5+8/(i⁴)² = i³/1² = -i/1 = -i;

luego, tienes la expresión del argumento de la raíz de tu enunciado:

(i⁵ - i^-5)/(2i) = reemplazas = ( i - (-i) )/(2i) = (i + i)/(2i) = 2i/(2i) = 1 = pasas a la forma polar = [1]_0°;

luego, tienes la raíz de tu enunciado:

∛( (i⁵ - i^-5)/(2i) ) = ∛( [1]_0° ) =

aplicas la Fórmula de De Moivre para las raíces, y queda:

= [∛(1)]_{(0°+360°*k)/3} = [1]_120°*k, con k = 0, 1, 2;

luego, las raíces cúbicas quedan expresadas:

w₀ = [1]_0°,

w₁ = [1]_120°,

w₂ = [1]_240°.

Espero haberte ayudado.

b)

Tienes la potencia de la unidad imaginaria:

i^-73 = i⁷³*i⁷⁶/i⁷⁶ = i^-73+76/(i⁴)¹⁹ = i³/1¹⁹ = -i/1 = -i = expresas en forma polar = [1]_-90°;

tienes el número complejo expresado en forma cartesiana binómica:

z = 3√(3)/2 - (3/2)i = √(27)/2 - (3/2)i;

luego, plantea la expresión de su módulo:

|z| = √( (√(27)/2)² + (-3/2)² ) = √(27/4 + 9/4) = √(9) = 3;

luego, plantea la tangente de su argumento (observa que el número complejo pertenece al cuarto cuadrante):

tanα = -(3/2) / (3√(3)/2) = -1/√(3), compones con la función inversa de la tangente, y queda: α = -30°.

y el número complejo expresado en forma polar queda: z = [3]_-30°;

luego, tienes la expresión del número complejo de tu enunciado:

w = i^-73*(3√(3)/2 - (3/2)i) = 

sustituyes las expresiones por sus formas polares:

= [1]_-90° * [3]_-30° =

resuelves el producto (recuerda que se multiplican los módulos y se suman los argumentos):

= [1*3]_{-90°+(-30°)} =

= [3]_-120°.

Espero haberte ayudado.

Entonces, el punto de intersección es P(3,0,3)

El plano pedido es de la forma 0x+0y+z+D=0

Para que pase por P, ha de ser D=-3

Entonces, el plano pedido es z-3=0

El apartado a) lo tienes perfecto! Voy a por los otros.

Saludos.

Está mal la derivada de e^(sinx)

El a) está perfecto. Lo único que pon b=1/2. Voy a hacerte el b:

Saludos.