Recuerda las propiedades:
(1) un determinante no varía si a una fila le sumas o restas múltiplos de otras filas;
(2) un determinante cambia de signo si se permutan dos filas;
(3) un factor común en una fila puedes ser extraído como factor del determinante;
(4) el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal;
(5) si una fila es nula, entonces el determinante es igual a cero.
Luego, tienes el determinante:
|A| =
a 1 2
1 -1 1
2-a -3 0
A la fila 3 le sumas la fila 1, y queda:
a 1 2
1 -1 1
2 -2 2
A la fila 3 le restas el doble de la fila 2, y queda:
a 1 2
1 -1 1
0 0 0 (observa que la tercera fila es nula, por lo que tienes: |A| = 0, para todo número real a)
Luego, si quieres obtener un determinante triangular superior, tienes dos casos:
1°)
a = 0.
Reemplazas, y queda:
|A| =
0 1 2
1 -1 1
0 0 0
Permutas la primera fila con la segunda fila (recuerda el cambio de signo), y queda:
-|A| =
1 -1 1
0 -1 1
0 0 0
Resuelves el determinante triangular superior, y queda:
-|A| = 1*1*0 = 0, de donde tienes: |A| = 0.
2°)
a ≠ 0,
extraes factor común en la primera fila (recuerda que multiplica al determinante), y queda:
a*|A| =
1 1/a 2/a
1 -1 1
0 0 0
A la segunda fila le restas la primera fila, y queda:
a*|A| =
1 1/a 2/a
0 -1-1/a 1-2/a
0 0 0
Resuelves el determinante triangular superior, y queda:
a*|A| = 1*(-1-1/a)*0 = 0, de donde tienes: |A| = 0.
Espero haberte ayudado.
