unidadesDeElectricidad=x

unidadesDeGas=y

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para plantear un sistema de ecuaciones:

Durante un mes el propietario de una casa utilizo 40 unidades de electricidad y 12 unidades de gas por un costo total de 147

40x+12y=147

El mes siguiente utilizo 35 unidades de electricidad y 20 de gas por un costo total de 144. 

35x+20y=144

Solucionamos el sistema de ecuaciones. Por reducción por ejemplo:

40x+12y=147  -----multiplicamos por 10 ---------------->  400x+120y= 1470

35x+20y=144   -----multiplicamos por menos 6 ------> -210x -120y= -864    ------------>      190x= 606   ----->  x=606/190 ------>  x= 303/95 uds monetarias vale la ud de electricidad.

Hallamos y con el valor de x=303/95 sustituyendo en cualquiera:

 40x+12y=147   --------->  40*(303/95)+12y=147      ---------->  (12120/95)+12y=147  -------->  12y= 147-(12120/95)  -------->

---------->   y= (147-(2424/19))/12 ------------>  y=123/76  unidades monetarias vale la unidad de gas.

x=largo

y=ancho

Perímetro=2x+2y (fórmula general)

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para plantear un sistema de ecuaciones:

4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho   ------>  4x=5y  ------>      x=(5y)/4                                                                               

El perímetro de una sala rectangular es 18 metros    ----------->  2x+2y=18

Solucionamos el sistema de ecuaciones. Por sustitución por ejemplo:

x=(5y)/4 

2x+2y=18  -----sustituimos---------->  2*((5y)/4)+2y=18   ----hallamos y -------->  (10y)/4 + (2y) =18  ------>  (10y)/4 + (8y)/4 =(72)/4  ---------> 10y+8y=72  ----->  y= 4 metros mide el ancho.

Por último, podemos hallar x sustituyendo el valor y=4 hallado:

x=(5y)/4 ------->  x=(5*4)/4  ----->  x= 5 metros mide el largo.

Vamos con una orientación.

Observa que tienes una ecuación diferencial lineal, de primer orden y de primer grado.

Luego, plantea la ecuación homogénea asociada:

Y ' + 2*Y = 0 (*), restas 2*Y en ambos miembros, y queda:

y ' = -2*Y, expresas el primer miembro como división entre diferenciales, y queda:

dY/dx = -2*Y, separas variables, y queda:

dY/Y = -2*dx, integras en ambos miembros (observa que omitimos la constante de integración ene este paso), y queda:

ln|Y| = -2*x, compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

Y = e^-2*x (1), que es la solución de la ecuación homogénea asociada.

Luego, plantea la expresión de la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado:

y = w*Y (2), donde debes determinar la expresión del factor w;

luego, plantea la expresión de la función derivada:

y ' = w ' *Y + w*Y ' (3).

Luego, tienes la ecuación diferencial de tu enunciado:

y ' + 2*y = x² + 2*x, sustituyes las expresiones señaladas (3) (2), y queda:

w ' *Y + w*Y ' + 2*w*Y = x² + 2*x, extraes factor común entre el segundo y el tercer término, y queda:

w ' *Y + w*(Y ' + 2*Y) = x² + 2*x, sustituyes la expresión señalada (*) que tienes en el agrupamiento, y queda:

w ' *Y + w*(0) = x² + 2*x, cancelas el término nulo, y queda:

w ' * Y = x² + 2*x, sustituyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

w ' * e^-2*x = x² + 2*x, multiplicas en todos los términos de la ecuación por e^2*x, y queda:

w ' = x² *e^2*x + 2*x*e^2*x, expresas al primer miembro como división entre diferenciales, y queda:

dw/dx = x² *e^2*x + 2*x*e^2*x, separas variables, y queda:

dw = x² *e^2*x *dx+ 2*x*e^2*x *dx;

y solo queda que integres término a término, y observa que las integrales de los dos términos del segundo miembro las puedes resolver con el Método de Integración por Partes y, una vez que tengas la expresión de la función w, solo queda que sustituyas expresiones en la expresión señalada (2) y tendrás la expresión de la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado.

Haz el intento de terminar la tarea y, si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Práctica:

Puede ser que con los 5 primeros te valga si es para un parcial de una asignatura de cálculo:

 https://www.youtube.com/watch?v=Wgk_FdfpJqg&list=PLj3KYX7UqPG8uZWqtQ7ZBG1DSou1fLDMS  (como verás son 12 tutoriales)

Teoría:  http://webs.ucm.es/centros/cont/descargas/documento11541.pdf

Para empezar está bien, pero verás que pronto se te quedará corto...

Toda la documentación de MatLab:

https://es.mathworks.com/help/matlab/

Muchas gracias.

https://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua33_Contenidos.html <--------Así se hace

https://www.vitutor.com/ecuaciones/1/r_e.html   <------Mira los ejercicios 9,10 y 11 

SEGUNDO LÍMITE SINGULAR:

El otro se sigue de la propiedad:

A^B =e^(ln A^B)=e^(B ln A)

Como el determinante es diferente de 0 entonces u,v,w generan ℝ³.

Para obtener un vector diferente a w pero que siga formando una base de ℝ³ junto con u y v, podemos hallar el producto cruz de u y v: (1,1,1)x( 0,1,-1)=(-2,1,1). Puedes ver que el determinante de u,v y (-2,1,1) es diferente de 0.