Construye el determinante 4x4 formado por los cuatro vectores y obliga a que valga 0.

Una vez que compruebes que las rectas NO son paralelas, obliga a que se corten, igualando a 0 el producto mixto (determinante) formado por los vectores directores respectivos u el vector que une dos puntos conocidos de cada una de las rectas.

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Obtenemos los puntos en donde el numerador y el denominador se hace 0.

2x+1=0→2x=-1→x=-1/2

x-3=0→x=3

De momento tenemos tres intervalos: (-∞,-1/2),(-1/2,3) y (3,∞). Observemos que en el primer intervalo el numerador y denominador son negativos siempre, por lo que el cociente sera positivo. En el segundo intervalo el numerador es positivo y el denominador es negativo siempre, por lo que el cociente es negativo. En el tercer intervalo tanto numerador como denominador son positivos siempre, por lo que el cociente es positivo.

Por tanto A=(-∞,-1/2)∪(3,∞). Cualquier duda comenta :)

En este ejercicio, ¿tengo que hacer lo mismo que el anterior?

Es una idea similar, solo que aquí necesitas que el numerador y el denominador tengan signos distintos. 

Te recomiendo este vídeo: Probabilidad de sucesos independientes

Si te queda alguna duda, posteala de nuevo :)

Consideremos las funciones f(x)=log(x) y g(x), entonces h(x)=(f◦g)(x)=log(g(x)). Así, L es la definición de derivada en x0 de h(x).

Por tanto: L(x)=h'(x)=[log(g(x))]'=g'(x)/g(x)→L=g'(x0)/g(x0)=1

Cualquier duda comenta :)

Gracias Luis, pero no me queda claro el hecho de las "h". y porque L=g'(x0)/g(x0)=1, eso pasa 

Ojo, no confundas la funcion h(x) con h. Para ella mejor le cambiare el nombre. j(x) es la composición de la función ln(x) con g(x), es decir, j(x)=log(g(x)). Para derivar una composición aplicas regla de la cadena entonces nos queda j'(x)=g'(x)/g(x), observa que derivamos el logaritmo (que estoy suponiendo es base e). Finalmente evaluamos j(x) en x0 y tenemos j(x0)=g'(x0)/g(x0)=1 puesto que g'(x0)=g(x0)≠0.

Lo importante aquí es que observes que L es la definición de derivada de la función j(x) en el punto x0. Espero y te haya quedado mas claro.

Lucía, pon foto del enunciado original, por favor.

Si el enunciado del primer ejercicio es tal cuál lo has consignado, solo se trata de listar los números naturales impares: 1, 3, 5, .. , 95, 97, 99.

Observa que tienes una progresión aritmética con los elementos:

a₁ = 1 (primer elemento),

d = 2 (diferencia entre elementos consecutivos),

a₅₀ = 99 (último elemento),

N = 50 cantidad de elementos.

Luego, la expresión explícita del elemento general es:

a_n = a₁ + d*(n - 1), reemplazas valores, y queda:

a_n = 1 + 2*(n - 1), distribuyes el último término, y queda:

a_n = 1 + 2*n - 2, reduces términos semejantes, y queda:

a_n = 2*n - 1, con n ∈ N, n ≥ 1.

Luego, la expresión de la suma de los n primeros elementos de la progresión aritmética es:

S_N = (a₁ + a_N)*N/2, reemplazas valores, y queda:

S₅₀ = (1 + 99)*50/2, resuelves el agrupamiento, simplificas el segundo factor con el divisor, y queda:

S₅₀ = 50*50 = 2500.

En el problema siguiente, observa que tienes una progresión geométrica de la cuál conoces:

a₁ = 5 (primer elemento),

r = 1,4 (razón),

N = a determinar (cantidad de elementos),

a_N < 1000000 (condición que debe cumplir el último elemento).

Luego, planteas la expresión del elemento general, y queda:

a_n = a₁*r^n-1, reemplazas valores, y queda:

a_N = 5*1,4^N-1 (1);

luego, planteas la condición, y queda:

a_N < 1000000, sustituyes la expresión del último elemento, y queda:

5*1,4^N-1 < 1000000, divides por 5 en ambos miembros, y queda:

1,4^N-1 < 200000, tomas logaritmos decimales en ambos miembros, y queda:

log(1,4^N-1) < log(200000), aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro, y queda:

(N - 1)*log(1,4) < log(200000), divides en ambos miembros por log(1,4), y queda:

N - 1 < log(200000)/log(1,4), sumas 1 en ambos miembros, y queda:

N < log(200000)/log(1,4) + 1, resuelves el segundo miembro (aproximamos con cuatro decimales), y queda:

N < 37,2766,

por lo que tienes que el número de orden del término buscado es: N = 37;

luego, reemplazas en la expresión del último elemento señalada (1), y queda:

a₃₇ = 5*1,4^37-1 = 5*1,4³⁶ ≅ 5*182225,5562 ≅ 911127,7809.

Espero haberte ayudado.

Enunciado orginal 

Observa que cuantos más hombres trabajen, menos se tarda (inversamente proporcional)

x hombres -------- 1/3 día

9 hombres -------- 6 días

x/9 = 6/(1/3)   ---------->     x/9 =18  ----->   x=18*9    -------->   x= 162 hombres se necesitan para acabar la obra en un tercio de la jornada.

Puedes plantear a un vector genérico del subespacio como combinación lineal de los vectores del conjunto generador:

a*<1,1,1> + b*<2,4,-8> = , con a y b números reales a determinar.

Luego, resuelves los productos en los términos, y queda:

+ <2b,4b,-8b> = ;

luego, resuelves la suma vectorial, y queda:

= ;

luego, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:

a + 2b = x, restas 2b en ambos miembros, y queda: a = x - 2b (1),

a + 4b = y,

a - 8b = z;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las dos últimas ecuaciones, reduces términos semejantes, y queda:

x + 2b = y, restas x en ambos miembros, y queda: 2b = -x + y,

x - 10b = z, restas x en ambos miembros, y queda: -10b = -x + z;

luego, multiplicas por 5 en todos los términos de la primera ecuación, mantienes la segunda ecuación, y queda:

 10b = -5x + 5y,

-10b = -x + z;

luego, sumas miembro a miembro, reduces términos semejantes, y queda:

0 = -6x + 5y + z, 

haces pasajes de términos, y queda:

6x - 5y - z = 0.

Luego, puedes expresar al subespacio vectorial generado por los vectores de tu enunciado:

S = { <x,y,z> ∈ R³ / 6x - 5y - z = 0 }.

Espero haberte ayudado.