a)

Tienes el vector: v = <1,0,-2>,

y puedes plantear la expresión de un vector perpendicular a él: p = ,

y observa que debe cumplirse la condición de perpendicularidad entre vectores:

v ∗ p = 0, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:

<1,0,-2> ∗  = 0, desarrollas el producto escalar, y queda:

1*x + 0*y - 2*z = 0, cancelas el término nulo, y queda:

x - 2*z = 0, sumas 2*z en ambos miembros, y queda:

x = 2*z (1);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la expresión del vector perpendicular, y queda:

p = < 2*z , y , z > (2),

que es la expresión general de los vectores perpendiculares al vector v.

Luego, observa la expresión del vector perpendicular señalada (2), y tienes dos casos:

1°)

z = 0 e y ≠ 0, reemplazas en la expresión señalada (2) y el vector perpendicular queda expresado: 

p₁ = < 0 , y , 0 >;

luego, planteas la expresión del módulo de este vector, y queda:

|p₁| = √(y²) = |y|;

y luego puedes plantear:

|y| = √(5), 

y tienes dos opciones:

A) y = -√(5), y la expresión del vector queda: p_A = < 0 ,-√(5), 0 >;

B) y = √(5), y la expresión del vector queda: p_B = < 0 ,√(5), 0 >.

2°)

z ≠ 0 e y = 0, reemplazas en la expresión señalada (2) y el vector perpendicular queda expresado: 

p₂ = < 2*z , 0 , z >;

luego, planteas la expresión del módulo de este vector, y queda:

|p₂| = √( (2*z)² + z² ) = √(5*z² ) = √(5)*|z|;

y luego puedes plantear:

√(5)*|z| = √(5), 

divides en ambos miembros por √(5), y queda:

|z| = 1;

y luego, tienes dos opciones:

C) z = -1, y la expresión del vector queda: p_C = < -2 , 0 , -1 >;

D) y = 1, y la expresión del vector queda: p_D = < 2 , 0 , 1  >.

Luego, tienes que las expresiones remarcadas corresponden a vectores que tienen alguna componente igual a cero y son perpendiculares al vector v.

Espero haberte ayudado.

b)

Plantea la expresión del vector buscado: w = <x,y,z>;

luego, planteas la expresión de su módulo, y queda:

√(x² + y² + z²) = √(6),

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x² + y² + z² = 6 (1).

Luego, planteas el producto vectorial que tienes en tu enunciado:

v x w = <2,-3,1>,

sustituyes las expresiones de los vectores en el primer miembro, y queda:

<1,0,-2> x <x,y,z> = <2,-3,1>,

desarrollas el producto vectorial en el primer miembro, y queda:

< 2*y , -2*x-z , y > = < 2 , -3 , 1 >;

luego, por igualdad entre vectores, tienes el sistema de ecuaciones:

2*y = 2, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: y = 1,

-2*x - z = -3, aquí sumas 2*x en ambos miembros, y queda: -z = 2*x - 3,

luego multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda: x = -2*x + 3 (2),

y = 1;

luego, sustituyes las expresiones remarcadas y la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

x² + 1² + (-2*x+3)² = 6, resuelves el segundo término, desarrollas el binomio elevado al cuadrado, y queda:

x² + 1 + 4*x² - 12*x + 9 = 6, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda:

5*x² - 12*x + 4 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

A)

x = 2, que al sustituir en la expresión señalada (2) queda: z = -1,

y la expresión del vector buscado queda: w_A = < 2 , 1 , -1 >;

B)

x = 2/5, que al sustituir en la expresión señalada (2) queda: z = 11/5,

y la expresión del vector buscado queda: w_B = < 2/5 , 1 , 11/5 >.

Espero haberte ayudado.

https://www.youtube.com/watch?v=L9et0iMufoI

Pon ejercicio concreto y lo vemos a ver.

Se trata de la probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes.

a)  p(h∩m) = 1/4*(1/3) = 1/12

b)  p(h∩ ¬m) = 1/4*(1-(1/3)) = 1/4*(2/3) = 2/12 = 1/6

c)  p(¬h∩ ¬m) = (1-(1/4))*(1-(1/3)) = 3/4*(2/3) = 6/12 = 1/2

https://www.vitutor.com/pro/2/a_r.html

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

u = x*y, luego diferencias con respecto a y, y queda: du = x*dy.

Luego, sustituyes, y la expresión de la función a integrar queda:

cos(u)*du.

Luego, integras y queda:

sen(u) + C;

luego, vuelves a sustituir, y finalmente queda:

sen(x*y) + C.

Espero haberte ayudado.

Siendo x la capacidad total de la presa tenemos que:

Octubre-->  3x/8 = 15x/40

Noviembre--> 31x/40 

Diciembre--> 9x/10 = 36x/40

Pon enunciado ,Roberto.

Hay un pequeño error en el límite a más infinito:

Es cierto que el limite a más infinito de (x-1)² * 1/(e^x) puede parecer infinito/infinito, pero hay que ver que 1/(e^x) tiende a 0 mucho más rápido que x², porque es una función exponencial, en cambio x² es una función polinómica.

Por lo tanto el límite de más infinito es 0. Eso quiere deccir que hay una asímptota horizontal en y = 0.

Te recomiendo que visualizes la gráfica en internet en una calculadora como esta:

http://www.meta-calculator.com/?panel-101-equations&data-bounds-xMin=-8&data-bounds-xMax=8&data-bounds-yMin=-11&data-bounds-yMax=11&data-equations-0=%22y%3D(x-1)%5E2%20*%20e%5E(-x)%22&data-rand=undefined&data-hideGrid=false

.

Crecimiento y decrecimiento: https://es.symbolab.com/solver/function-monotone-intervals-calculator/intervalos%20mon%C3%B3tonos%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B1%5Cright)%7D%7Bx%7D

Extremos y gráfica: https://es.symbolab.com/solver/function-extreme-points-calculator/puntos%20extremos%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E%7B2%7D%2B1%5Cright)%7D%7Bx%7D

Pon el contexto del problema.

Antonio, No hay más contexto. Es eso lo que sale. Es un problema suelto.