Tienes la expresión de la función:

f(x) = (a*x² + b)/x = distribuyes y simplificas = a*x + b/x (1).

Luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = a - b/x² (2).

Luego, tienes la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente:

y = -2, cuya pendiente es: m = 0 (3).

Luego, plantea la condición de tangencia:

f ' (x) = m, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3), y queda:

a - b/x² = 0, sumas b/x² en ambos miembros, y queda: 

a = b/x², multiplicas por x² en ambos miembros, y queda:

a*x² = b, reemplazas el valor de la abscisa del punto de tangencia que tienes en tu enunciado (x = 1), y queda:

a = b (4).

Luego, como el punto de tangencia pertenece a la gráfica de la función, puedes plantear para su ordenada (que es igual a -2 porque también pertenece a la recta tangente):

f(x) = -2, sustituyes la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

a*x + b/x = -2, reemplazas el valor de la abscisa del punto de tangencia que tienes en tu enunciado (x = 1), y queda:

a + b = -2 (5).

Luego, sustituyes la expresión señalada (4) en la ecuación señalada (5), y queda:

2*b = -2, divides por 2 en ambos miembros, y queda: b = -1;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (4), y queda: a = -1.

Luego, reemplazas los valores remarcados en las expresiones señaladas (1) (2), y quedan:

f(x) = -x - 1/x (observa que el punto A(1,-2) pertenece a la gráfica de la función),

f ' (x) = -1 + 1/x² (observa que la función derivada toma el valor cero para x igual a 1).

Espero haberte ayudado.

Simplemente tienes que dibujar la función a trozos f(x) sustituyendo el valor hallado de a= -1

Te queda:

f(x)=                                                           f(x)=

1+ (-1)x    si x<0               -------------->         1-x  si  x<0

       e^-x      si x≥0                                           e^-x   si  x≥0     

Que esbozando los dos trozos en sus respectivos dominios lo dibujas así:

a)

Te dicen en tu enunciado que es derivable, entonces tiene que ser continua.

CONTINUIDAD

La subfunción que define el trozo [0,2) es una parábola, que por definición es continua

La subfunción que define el trozo (2,5) es continua y está definida (no nos afecta para nada que no lo esté en x∈(-inf,1)

Solo nos queda extraer la condición de continuidad para x=2:

lim(x→2^-) ax+bx²= lim(x→2⁺) -4+√(x-1)   ----------->    2a+4b= -4+1   -------->   2a+4b= -3

DERIVABILIDAD

La derivada está correcta.

Siguiendo la misma idea que para la continuidad obtendríamos que se tiene que cumplir que para la derivabilidad que

lim(x→2^-) a+2bx= lim(x→2⁺) 1/(2√(x-1))    ----------->    a+4b= 1/2 

Entonces, para que se cumpla la derivabilidad se tienen que cumplir ambas ecuaciones; por lo tanto solo queda resolver el sistema de ecuaciones 

2a+4b= -3

a+4b= 1/2

restando ambas ecuaciones nos queda que

a= -7/2

b= 1

Observa el Diagrama de Venn, en él hemos señalado con C al conjunto de alumnos que estudian Cálculo, con P a los que estudian Psicología, y con M a los que estudian computación.

Observa que hemos señalado con verde a la intersección de los tres conjuntos, que tiene 8 elementos como indica tu enunciado:

|C∩P∩M| = 8.

Luego, por diferencias, hemos calculado las cantidades:

- de estudiantes de Cálculo y Computación solamente: |C∩M| - |C∩P∩M| = 33 - 8 = 25;

- de estudiantes de Cálculo y Psicología solamente: |C∩P| - |C∩P∩M| = 20 - 8 = 12;

- de estudiantes de Psicología y Computación solamente: |P∩M| - |C∩P∩M| = 24 - 8 = 16.

Luego, por diferencias, hemos calculado las cantidades:

- de estudiantes de Cálculo solamente: 79 - (8 + 12 + 25) = 79 - 45 = 34;

- de estudiantes de Psicología solamente: 83 - (8 + 12 + 16) = 83 - 36 = 47;

- de estudiantes de Computación solamente: 63 - (8 + 25 +16) = 63 - 49 = 14.

Luego, por diferencias, hemos calculado la cantidad:

- de estudiantes que no cursan estas tres asignaturas; 165 - (8 + 25 + 12 + 16 + 34 + 47 + 14) = 165 - 156 = 9.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Observa que has planteado erróneamente la expresión de la función a integrar, para calcular el área del semidisco elíptico superor.

Vamos con el planteo directo para resolver con coordenadas polares.

Tienes la ecuación cartesiana canónica de la elipse:

x² + y²/3 = 1.

Luego, puedes plantear el cambio a coordenadas polares (x = ρ*cosθ, y = Ρ*senθ):

ρ²*cos²θ + (1/3)*ρ²*sen²θ = 1;

multiplicas por 3 en todos los términos de la ecuación, y queda:

3*ρ²*cos²θ + ρ²*sen²θ = 3;

extraes factor común en el primer miembro, y queda:

ρ²*(3*cos²θ + sen²θ) = 3;

haces pasaje de factor como divisor, y queda:

ρ² = 3/(3*cos²θ + sen²θ), con 0 ≤ θ ≤ π.

Observa que para integrar esta función se complica demasiado (es más, se trata de una integral elíptica, cuya resolución es con métodos numéricos).

Espero haberte ayudado a aclarar tu duda.

(a)

Relación de dependencia:   a= -b/2 + 3/2*c

(1,0,-2) = -(-5,6,1)/2 + 3*(-1,2,-1)/2    

(1,0,-2) = (5,-6,-1)/2 + (-3,6,-3)/2 

(1,0,-2) = (5/2,-6/2,-1/2) + (-3/2,6/2,-3/2)

(1,0,-2) = (5/2 - 3/2, -6/2 + 6/2, -1/2 -3/2) 

(1,0,-2) = (2/2,0, -4/2)

(1,0,-2) = (1,0,-2)

(b)

Relación de dependencia:   c = -√2*b

(√2,-√2,√2) = -√2*(-1,1,-1)  

(√2,-√2,√2) = (√2,-√2,√2) 

(c)

No se puede obtener como resultado ningún vector combinando vectores (ni sus proporcionales). Son independientes.

Estas usando la relacion del área como si fueran coordenadas polares, y son parámetricas