Observa el triángulo oblicuo formado por las dos figuras coloreadas, y observa que puedes plantear el Teorema del coseno para los ángulos de elevación α y β:

18² = 45² + 32² - 2*45*32*cosα,

32² = 45² + 18² - 2*45*18*cosβ,

y puedes despejar los valores de los cosenos de los ángulos de elevación, y de ahí obtener sus medidas.

Luego, observa los triángulos rectángulos coloreados, y puedes plantear:

h/32 = senα, multiplicas por 32 en ambos miembros, y queda: h = 32*senα (en el triángulo sombreado amarillo),

h/18 = senβ, multiplicas por 18 en ambos miembros, y queda: h = 18*senβ (en el triángulo sombreado celeste).

Espero haberte ayudado.

1)

Si la expresión corresponde a la función ritmo de personas que ingresan a la exposición (consulta con tus docentes por el enunciado), observa que tienes que el lapso entre la apertura y el cierre es: 21 - 15 = 6 horas;

luego, plantea la expresión de la cantidad de personas que ingresaron a la exposición:

N = ₀∫⁶ ( 12*t - 2*t²)*dt = integras = [ 12*t²/2 - 2*t³/3 ] = evalúas con Regla de Barrow = (6*6² - (2/3)*6³) - (0 - 0) = (216 - 144) - 0 = 72 personas.

2)

Si consideramos que la fábrica funciona durante todo el día, entonces plantea para la masa de material arrojado a la balsa:

M = ₀∫²⁴ (0,01*t³ - 0,2*t² + t + 1)*dt = integras = [ 0,01*t⁴/4 - 0,2*t³/3 + t²/2 + t ] = evalúas con Regla de Barrow:

= (829,44 - 921,6 + 288 + 24) - (0 - 0 + 0 + 0) = 219,84 - 0 = 219,84 Kg.

Espero haberte ayudado.

Observa el dibujo, y verás que O es el punto de observación, P es el punto del acantilado que está a nivel del suelo, A es el punto base del asta, y Ces su punto cumbre.

Luego observa que tienes dos triángulos rectángulos, y que llamamos a a la longitud del asta, y que llamamos α al ángulo determinado por el suelo y la visual del observador a la base del asta:

a)

Triángulo OPC, del que tienes:

x = 40 p (base), y = a + 50 p (altura, θ = α + 9° (medida del ángulo interior correspondiente al vértice O;

luego, puedes plantear:

y/x = tan(α + 9°), multiplicas en ambos miembros por x (observa que su valor es estrictamente positivo), y queda:

y = x*tan(α + 9°), sustituyes expresiones, y queda:

50 + a = 40*tan(α + 9°), restas 50 en ambos miembros, y queda:

a = 40*tan(α + 9°) - 50 (1).

b)

Triángulo OPA, del que tienes:

x = 40 p (base), y = 50 p (altura, α = a determinar (medida del ángulo interior correspondiente al vértice O;

luego, puedes plantear:

tan(α) = y/x, reemplazas valores, y queda:

tan(α) = 50/40 = 1,25, compones con la función inversa de la tangente, y queda: 

α ≅ 51,340°.

Luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

a ≅ 40*tan(60,340°) - 50, resuelves el primer término, y queda:

a ≅ 70,242 - 50, reduces términos semejantes, y queda:

a ≅ 20,242 pies.

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión de la función altura: f(x,y) = 1 +y²;

y para plantearla en cada punto de la curva base (observa que se trata de una circunferencia cuyo radio es 2 y su centro es el origen de coordenadas), sustituyes las componentes de la función vectorial de posición (x = 2*cost, y = 2*sent), y queda:

f( r(t) ) = 1 + ( 2*sent )² = 1 + 4*sen²t.

Luego, plantea la expresión del diferencial de arco de la curva base:

ds = |r ' (t)|*dt = |<-2*sent,2*cost>|*dt = 2*|<-sent,cost>| = 2*√( (-sent)² + cos²t) ) = 2*√(sen²t + cos²t) = 2*√(1) = 2*1 = 2.

Luego, puedes plantear la expresión del área lateral de la pieza.

A = ∫_C f(x,y)*ds = ₀∫^2π f( r(t) )*|r ' (t)|*dt = sustituyes expresiones:

= ₀∫^2π ( 1 + 4*sen²t ) )*2*dt = 2 * ₀∫^2π ( 1 + 4*sen²t )*dt = ...,

y puedes continuar la tarea por medio de la sustitución trigonométrica: sen²t = ( 1 - cos(2t) )/².

Luego, tienes el espesor de la pieza (e = 0,2 cm), y puedes calcular su volumen multiplicándolo por el área que has calculado en el inciso anterior.

Espero haberte ayudado.

Efectivamente, es tal cuál dices.

La expresión de las infinitas soluciones del sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas que propones es la correcta, y observa que para cada número real puedes determinar la ecuación de una curva que pasa por los tres puntos que tienes en tu enunciado, y observa que al conjunto de las infinitas curvas es a lo que llaman "familia de curvas".

Espero haberte ayudado.

A la vista del siguiente gráfico, se deduce que las respuestas son:

A: 4580, B: 4320 y C: 6100