Observa que el dominio de la función es: D = (-∞,1) u (1,+∞).

Observa que la expresión de la función puede escribirse en la forma: f(x) = x/(x²-2x+1).

Luego, estudias el comportamiento de la función cerca del punto de discontinuidad x = 1:

Lím(x→1-) f(x) = Lím(x→1-) x/(x-1)² = +∞,

ya que el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 desde valores positivos;

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) x/(x-1)² = +∞,

ya que el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 desde valores positivos;

por lo que tienes que la recta cuya ecuación es: x = 1 es asíntota vertical superior de la gráfica de la función, tanto por la izquierda como por la derecha.
Luego, estudias la existencia de asíntotas horizontales:

a)

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) x/(x²-2x+1) = Lím(x→-∞) x / x²(1-2/x+1/x²) = 

= Lím(x→-∞) 1 / x(1-2/x+1/x²) = 0,

y observa que los valores de la función tienden a cero desde valores negativos, ya que el numerador es igual a 1 y el denominador tiende a -infinito; por lo que tienes que la recta cuya ecuación es: y = 0 es asíntota horizontal izquierda de la gráfica de la función;

b)

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) x/(x²-2x+1) = Lím(x→+∞) x / x²(1-2/x+1/x²) = 

= Lím(x→+∞) 1 / x(1-2/x+1/x²) = 0,

y observa que los valores de la función tienden a cero desde valores positivos, ya que el numerador es igual a 1 y el denominador tiende a +infinito; por lo que tienes que la recta cuya ecuación es: y = 0 es asíntota horizontal derecha de la gráfica de la función.

Espero haberte ayudado.

Observa que tienes capitalización mensual, cuyo índice es: i = 6 % = 0,06.

Luego, si llamas n a la cantidad de meses que estará vigente la inversión, puedes plantear la expresión:

C_n = C_i*(1+i)ⁿ, reemplazas valores, resuelves el argumento de la potencia, y queda:

139305 = 300*1,06ⁿ, haces pasaje de factor como divisor, y queda

464,35 = 1,06ⁿ, compones en ambos miembros con la función logarítmica decimal, y queda:

log(464,35) = log(1,06ⁿ), aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro, y queda:

log(464,35) = n*log(1,06), haces pasaje de factor como divisor, y queda:

log(464,35)/log(1,06) = n, resuelves el primer miembro, y queda:

105,38 ≅ n;

por lo que puedes concluir que deberás mantener vigente la inversión por 106 meses para asegurar un capital final que no sea menor que el indicado en el enunciado;

luego, el lapso expresado en años y fracción de año expresada en meses, queda:

n = 106 meses = 8 años y 10 meses.

Espero haberte ayudado.

MUCHISIMAS GRACIAS, LO ESTABA HACIENDO Y ME HAS RESUELTO LA DUDA DE QUE HABIA QUE HACERLO CON LOGARITMOS

Comienza por calcular los transformados de los vectores que son elementos de la base canónica de R³:

T(1,0,0) = <1,-2,1> (aquí tienes los elementos de la primera columna de la matriz asociada a la transformación lineal),

T(0,1,0) = <-6,0,1> (aquí tienes los elementos de la segunda columna de la matriz asociada a la transformación lineal),

T(0,0,1) = <-3,-6,4> (aquí tienes los elementos de la tercera columna de la matriz asociada a la transformación lineal);

luego, la matriz asociada a la transformación lineal queda:

A = 

 1     -6     -3

-2      0     -6

 1      1      4.

Luego, plantea la condición que cumplen los elementos del dominio de la transformación lineal que pertenecen al núcleo:

T(x,y,z) = <0,0,0>, sustituyes la expresión de la transformación lineal en el primer miembro, y queda:

< x-6y-3z , -2x-6z , x+y+4z > = < 0 , 0 , 0 >;

luego, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:

x - 6y - 3z = 0,

-2x - 6z = 0, aquí despejas: x = -3z (1),

x + y + 4z = 0;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones, reduces términos semejantes, y queda:

-6y - 6z = 0, de aquí despejas y = -z (2),

y + z = 0;

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la última ecuación, y queda:

0 = 0, que es una identidad Verdadera, por lo que tienes que el sistema de ecuaciones admite infinitas soluciones, que quedan expresadas:

x = -3z,

y = -z,

z ∈ R;

luego, el núcleo de la transformación queda expresado:

N = { / x = -3z, y = -z, z ∈ R };

luego, planteas la expresión de un vector genérico perteneciente al núcleo de la transformación, y queda:

u = = sustituyes expresiones = <-3z,-z,z> = extraes el factor escalar = z*<-3,-1,1>;

luego, tienes que todos los vectores pertenecientes al núcleo son múltiplos escalares del vector <-3,-1,1>,

por lo que puedes concluir que el conjunto:

B_N = { <-3,-1,1> } es una base del núcleo de la transformación,

y como el cardinal de la base es 1, tienes que la dimensión del núcleo queda:

dim(N) = |B_N| = 1.

Espero haberte ayudado.

Es así, María (con corrección por salto a continua):

Observa que el límite es indeterminado, ya que el numerador tiende a cero y el denominador también tiende a cero.

Luego, para salvar la indeterminación, comienza por multiplicar al numerador (N) y al denominador (D) por las expresiones "conjugadas" de ambos, para luego distribuir y resolver productos entre factores "conjugados", y quedan:

N = 3-√(5+x) = (3-√(5+x))*(3+√(5+x))*(1+√(5-x)) = (9-(5+x))*(1+√(5-x)) = (-x+4)*(1+√(5-x)) = -1*(x-4)*(1+√(5-x));

D = 1-√(5-x) = (1-√(5-x))*(1+√(5-x))*(3+√(5+x)) = (1-(5-x))*(3+√(5+x)) = (x-4)*(3+√(5+x)).

Luego, plantea para el límite de tu enunciado:

Lím(x→4) (3-√(5+x))/(1-√(5-x)) = sustituyes expresiones, y queda

= Lím(x→4) (-1)*(x-4)*(1+√(5-x)) / (x-4)*(3+√(5+x)) = simplificas, y queda:

= Lím(x→4) (-1)*(1+√(5-x)) / (3+√(5+x)) = evalúas, y queda:

= (-1)*2 / 6 = -2/6 = -1/3.

Espero haberte ayudado.