Puedes plantear la forma general de la función polinómica cuadrática:

y = a*x² + b*x + c, extraes el coeficiente principal como factor común entre los dos primeros términos, y queda:

y = a*( x² + (b/a)*x ) + c, sumas y restas b²/(4*a²) en el agrupamiento, y queda:

y = a*( x² + (b/a)*x + b²/(4a²) - b²/(4*a²) ) + c, factrorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

y = a*( ( x + (b/(2*a)) )² - b²/(4*a²) ) + c, distribuyes en el primer término, y queda:

y = a*( x + (b/(2*a)) )² - b²/(4*a) + c, que es la ecuación cartesiana canónica de la parábola,

cuyo vértice es el punto: V( -b/(2*a) ; -b²/(4*a)+c ), cuya abscisa es: h = -b/(2*a),

y cuya ordenada es: k = -b²/(4*a)+c

Luego, sustituyes las expresiones de las coordenadas del vértice, y la ecuación queda:

y = a*(x - h)² + k; 

luego, plantea la condición que cumplen las raíces de la ecuación:

y = 0, sustituyes en el primer miembro, y queda:

a*(x - h)² + k = 0, haces pasaje de término, y queda:

a*(x - h)² = -k, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

(x - h)² = -k/a, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

x₁ - h = -√(-k/a), haces pasaje de término, y queda: x₁ = h - √(-k/a) (1),

x₂ - h = √(-k/a), haces pasaje de término, y queda: x₂ = h + √(-k/a) (1),

que son las expresiones de las raíces (observa que la ordenada del vértice y el coeficiente principal debe tener signos distintos para que la ecuación admita soluciones reales).

Luego, plantea el promedio entre las raíces de la ecuación:

(1/2)*(x₁ + x₂) = (1/2)*( h-√(-k/a) + h+√(-k/a) ) = (1/2)*(2*h) = h;

luego, tienes que el promedio de las soluciones de la ecuación cuadrática, que coinciden con las raíces de la función cuadrática correspondiente, es igual a la abscisa del vértice de la parábola que es la representación gráfica de la función.

Espero haberte ayudado.

Comienza por multiplicar al numerador y al denominador del argumento del límite por la expresión "conjugada" del denominador, lo haces, y la expresión del argumento queda:

f(x) = sen(2x)*sen(3x)*( 1+cos(4x) ) / ( 1-cos(4x) )*( 1+cos(4x) ).

Luego, distribuyes en el denominador, y queda

f(x) = sen(2x)*sen(3x)*( 1+cos(4x) ) / ( 1-cos²(4x) ).

Luego, aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno en el denominador, y queda:

f(x) = sen(2x)*sen(3x)*( 1+cos(4x) ) / sen²(4x).

Luego, aplicas la identidad del seno del doble de un ángulo en el denominador, y qeuda

f(x) = sen(2x)*sen(3x)*( 1+cos(4x) ) / ( 2*sen(2x)*cos(2x) )².

Luego, distribuyes la potencia entre todos los factores del denominador, y queda:

f(x) = sen(2x)*sen(3x)*( 1+cos(4x) ) / 4*sen²(2x)*cos²(2x).

Luego, simplificas, y queda:

f(x) = sen(3x)*( ( 1+cos(4x) ) / 4 )*sen(2x)*cos²(2x) = (1/4)*( 1+cos(4x) )*( 1/cos²(2x) )*sen(3x)/sen(2x).

Luego, expresas a los dos últimos factores del  argumento como producto de expresiones fraccionarias, y queda:

f(x) = (1/4)*( 1+cos(4x) )*( 1/cos²(2x) ) * (sen(3x)/1) * ( 1/sen(2x) ).

Luego, multiplicas y divides por 3x, y agrupas el divisor en el anteúltimo agrupamiento, y queda

f(x) = (1/4)*(3x)*( 1+cos(4x) )*( 1/cos²(2x) ) * ( sen(3x)/(3x) ) * ( 1/sen(2x) ).

Luego, multiplicas y divides por 2x, y agrupas el factor en el último agrupamiento, y queda:

f(x) = (1/4)*(3x)*( 1/(2x) )*( 1+cos(4x) )*( 1/cos²(2x) ) * ( sen(3x)/(3x) ) * ( (2x)/sen(2x) ).

Luego, resuelves los tres primeros factores del argumento del límite, y queda

f(x) = (3/8)*( 1+cos(4x) )*( 1/cos²(2x) ) * ( sen(3x)/(3x) ) * ( (2x)/sen(2x) ).

Luego, planteas el límite, extraes el factor numérico, aplicas la propiedad del límite de un producto, y queda

Lím(x→0) f(x) = (3/8) * Lím(x→0) ( 1+cos(4x) ) * Lím(x→0) ( 1/cos²(2x) ) * Lím(x→0) ( sen(3x)/(3x) ) * Lím(x→0) ( (2x)/sen(2x) ).

Luego, observa que los dos primeros límites son determinados, y que los dos últimos son iguales a 1 (seguramente has visto límites de esta clase en clase, por lo que tienes:

Lím(x→0) f(x) = (3/8) * (1/2) * (1/1) * 1 * 1 = 3/16,

Espero haberte ayudado.

En las soluciones de los ejercicios pone 3/4, pero igualmente muchas gracias, voy a ver si encuentro el fallo.

El fallo está al final que pones Lím(x→0) f(x) = (3/8) * (1/2) * (1/1) * 1 * 1 = 3/16

Ese (1/2) en realidad es un 2 → lim (x→0) (1+cos(4x)) = 2

Muchísimas gracias!

a)

z = (2-x*i)² = 2² + 2*2*(-x*i) + (-xi)² = 4 - 4*x*i + x²*i² = 4 - 4*x*i + x²*(-1) = 4 - 4*x*i - x² = (4-x²) - 4*x*i;

luego, planteas que la parte real es igual a 0, y queda la ecuación:

4 - x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

-x² = -4, multiplicas en ambos miembros por -1, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

x = - 2 o x = 2.

b)

(2*x+y*i)/(1-i) = (3+i), haces pasaje de divisor como factor, y queda:

2*x + y*i = (3+i)*(1-i), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

2*x + y*i = 3 - 3*i + 1*i - i², resuelves el cuadrado y reduces términos semejantes en el segundo miembro, y queda:

2*x + y*i = 4 - 2*i, luego, por igualdad entre números complejos, igualas partes reales, igualas partes imaginarias, y tienes el sistema de ecuaciones:

2*x = 4, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda x = 2;

y = -2.

c)

z = (-5+2*i)*(-2+x*i) = 10 - 5*x*i - 4*i + 2*x*i² = 10 - 5*x*i - 4*i + 2*x*(-1) = 10 - 5*x*i - 4*i - 2*x = (10-2*x) + (-5*x-4)*i,

luego, planteas que la parte imaginaria es igual a cero, y queda la ecuación:

-5*x - 4 = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: -5*x = -4, haces pasaje de factor como divisor, y queda: x = 4/5.

Espero haberte ayudado.

d)

Observa que la parte real debe ser igual a la parte imaginaria.

z = (1+x*i)/(2+3*I), multiplicas al numerador y al denominador por el conjugado del denominador, y queda:

z = (1+x*i)*(2-3*i) / (2+3*i)*(2-3*i), distribuyes y resuelves en el numerador, distribuyes y resuelves en el denominador, y queda

z = ( (2+3*x) + (-3+2*x)*i )/13, distribuyes el denominador, y queda:

z = (2+3*x)/13 + ( (-3+2*x)/13 )*i,

luego igualas la parte real con la parte imaginaria, y queda la ecuación:

(2+3*x)/13 = (-3+2*x)/13, multiplicas por 13 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

2 + 3*x = -3 + 2*x, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

x = -5.

e)

Tienes la ecuación:

(2-i)²*x = 1, desarrollas y resuelves el cuadrado en el primer miembro, y queda:

(1-4*I)*x = 1, multiplicas en ambos miembros por el conjugado del número complejo del primer miembro, resuelves, y queda:

17*x = 1 + 4*i, divides por 17 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x = 1/17 + (4/17)*i (observa que en este ejercicio tienes que x es un número complejo).

f)

Tienes la ecuación:

(1+i)² + x*(-i) = -(2+2*i)², desarrollas y resuelves los cuadrados, y queda:

2*i + x*(-i) = -8*i, resuelves el producto, y queda:

2*i - x*i = -8*i, divides por -i en todos los términos de la ecuación, y queda:

-2 + x = 8, haces pasaje de término, resuelves, y queda:

x = 10.

Espero haerte ayudado.

LA tenemos hecha Artura

https://www.youtube.com/watch?v=E9oOHvoEKCk

Tienes la integral

I = ∫ (1+lnx)*dx = ∫ (1+lnx)*1*dx.

Luego, planteas el Método de Integración por Partes, y tienes:

u = 1+lnx, de donde tienes: du = (1/x)*dx,

dv = 1*dx, de donde tienes: v = x.

Luego, aplicas el método, y la integral queda:

I = (1+lnx)*x - ∫ x*(1/x)*dx =  (1+lnx)*x - ∫ 1*dx = (1+lnx)*x - x + C.

Luego, distribuyes en el primer término, y queda:

I = x + x*lnx - x + C;

luego, cancelas términos opuestos, y queda:

I = x*lnx + C.

Espero haberte ayudado.

Es diagonalizable:

https://matrixcalc.org/es/#diagonalize%28%7B%7B0,0,0,0%7D,%7B0,0,0,0%7D,%7B0,0,-1,2%7D,%7B0,0,-1,2%7D%7D%29

Ten en cuenta que la solución general de un sistema lineal compatible es igual a una solución fija más la solución general del sistema homogéneo asociado.

Pon foto del enunciado original.

es el apartado P

bn se supone que es una serie de caracter convergente