Saca factor común equis y saca las soluciones restantes resolviendo la ecuación de tercer grado que te queda entre paréntesis por el método de Ruffini.

Dom(f)=

0<=x<=4

Entonces, Rec(f)=

0<=y<=2

Pues de y=4x-x^2

y'=4-2x

y'=0 

x=2

f(x)=2

Dom = [0,4]

Img = [0,2]

Porqué el radicando de una raíz cuadrada no puede ser negativo.

No entiendo muy bien el recorrido, no sería del -2 cerrado al 2 cerrado??

Coloca una foto del enunciado original por favor, veo que hay un paréntesis de más y quizá fue error de transcripción, con lo cual no se sabe si daremos con la respuesta correcta.

Puedes plantear

a + b/2 = 40, aquí multiplicas por 2 en todos los términos, haces pasaje de término, y queda:

b = 80 - 2a (1),

a - c = n, aquí multiplicas por -1 en todos los términos, haces pasaje de término, y queda: c = a - n (2),

a + b + c = 100;

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en la tercera ecuación, y queda:

a + 80 - 2a + a - n = 100,

reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), y queda:

80 - n = 100,

haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

-20 = n.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que un elemento x perteneciente al dominio de la función compuesta debe cumplir dos condiciones:

1°)

x debe pertenecer al dominio de la primera función;

2°)

la imagen de x con la primera función debe pertenecer al dominio de la segunda función.

Luego, vamos a tus ejercicios:

a)

1°)

x ∈ D_f,

se cumple para todo x;

2°)

x² ∈ D_g,

se cumple si y solo si:

x² ≤ 2; haces pasaje de potencia como raíz (observa que el exponente es par), y queda:

|x| ≤ √(2), que corresponde al intervalo:

[ -√(2) , √(2) ];

luego, observa que los elementos de este último intervalo cumplen con las dos condciones, por lo que queda:

D_gof = [ -√(2) , √(2) ];

luego, la expresión de la función f compuesta con g queda:

(g o f)(x) = g( f(x) ) = g( x² ) = √(2 - x²).

b)

1°)

x ∈ D_g, por lo que tienes la condición: x ∈ ( -∞ , 2 ];

2°)

√(2 - x) ∈ Df, que se cumple para todo x perteneciente al dominio de la función g;

por lo tanto tienes que el dominio de la función g compuesta con f queda:

D_fog = ( -∞ , 2 ];

luego, la expresión de la función g compuesta con f queda:

(f o g)(x) = f( g(x) ) = f( √(2 - x) ) = ( √(2 - x) )² = |2 - x| = 2 - x,

ya que el argumento del valor absoluto toma valores positivos.

Espero haberte ayudado.

Debes aplicar la definición de continuidad de una función en un punto de su dominio:

1°)

f(1) = √(1) = 1;

2°)

Lím(x→1-) f(x) = Lím(x→1-) (-x² + ax) = -1 + a (*),

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) √(x) = 1 (**),

y para que el límite exista, planteas la igualdad de las expresiones señaladas (*) (**) y queda la ecuación:

-1 + a = 1, haces pasaje de término, y queda: a = 2;

3°)

tienes: f(1) = Lím(x→1) f(x) = 1, por lo que tienes que la función es continua en x =1, con la condición: a = 2.

Luego, la expresión de la función queda:

f(x) =

-x² + 2*x               si x < 1

√(x)                        si x ≥ 1.

Luego, plantea la expresión de la función derivada (recuerda que el valor para el punto de corte entre trozos debes calcularlo con la definición):

f ' (x) =

-2*x + 2                si x < 1

a determinar      si x = 1

1/( 2*√(x) )           si x > 1;

y observa que puedes inferir que la función derivada no está definida para x = 1 porque los límites laterales para x tendiendo a 1 son distintos (0 por la izquierda y 1/2 por la derecha).

Queda para plantees y calcules las derivadas laterales para x =1 por medio de la definición.

Espero haberre ayudado.

Paso a paso:

https://matrixcalc.org/es/#diagonalize%28%7B%7B1,3,3%7D,%7B3,1,3%7D,%7B3,3,1%7D%7D%29

Observa que en los denominadores tienes una suma x+1, una resta x-1 y una resta de cuadrados x²-1 directamente relacionados.

Pasas a común denominador la expresión de tu enunciado y obtenemos:

( (x²)*(x-1) + (2)*(x+1) - 2 )/ (x²-1) = 0

operamos:

( (x²)*(x-1) + (2)*(x+1) - 2 ) = 0*(x²-1)

(x²)*(x-1) + (2)*(x+1) - 2 ) = 0

x³-x²+2x+2-2=0

x³-x²+2x=0

x*(x²-x+2)=0

x=0

No hay más soluciones porque x²-x+2=0 no tiene valor que la verifique en los reales.

ángel , y ¿esta ecuación se puede hacer por ruffini?

Sí, aunque en este caso no sea necesario por eso de que puedes sacar factor común x por simple inspección x3-x2+2x = x*(x2-x+2) 

Por Ruffini:

x3-x2+2x

      |      1            -1            2            0

      |      

  0 |-----------------------------------------------

              1            -1            2            0

   x3-x2+2x =  (x-0)*(x²-x+2)   =   x*(x2-x+2) 

Como puedes ver, obtienes el mismo resultado en cualquier caso.

Muéstranos tu trabajo y plantéanos dudas muy concretas.