es dificil de explicar por aca, mejor mira este video y me decis si te queda alguna duda.
https://www.youtube.com/watch?v=py7BX47Qnis

Tengo la duda de que hacer con el 2 que esta a un lado del primer valor absoluto

podes distribuirlo como si fuera un parentesis normal o dejarlo, si queres escribi el valor absoluto como 2y-6 y listo

Y se mantiene el valor absoluto o se quita?

se mantiene, osea, es lo mismo el valor absoluto de por ejemplo (3-2)x2 que el valor absoluto que (6-4), solo se saco de factor comun dos, pero el valor absoluto se mantiene.

sea x la edad de carlos, e y la edad de josé como habla de cuestines de edades pasadas podemos auxiliarnos con la diferencia de sus edades osea x-y=n... la edad que tenia josé cuando carlos tenía la edad de josé es y-n entonces x=2(y-n) luego la segunda ecuacion es 3y+x+n=280 resolviendo eso, al final me queda x=80 e y=60... espero te ayude...
pst: cualquier error, que nuestros amigos unicoos corrijan saludos.....

Te mando otro enfoque de resolución:

El (1,1) seria el normal, que es perpendicular a la recta, por lo que debes coger el (-1,1), paralelo a la misma

Para que sea derivable en x=a, loas derivadas laterales en f'(a) deben coincidir, por lo que
f'(x)+=x³+b=3x², como es en x=1, 3x²→3·1=3
f'(x)-=x²+ax+3=2x+b, sustituimos en x=1 y queda 2+b.
Como f'(x)+=f'(x)-
3=2+b
b=1
a=3

Para que sea derivable en x=1, la derivada por la izquierda en x=1 tiene que ser igual a la derivada por la derecha en ese mismo punto.En tu caso, la derivada de la de arriba es la de la izquierda la de abajo la de la derecha, haces las derivadas reemplazas X por 1

Roberto le erraste en la deribada por la izquierda, es 2x+a, de esa forma te quedaria que a=1, otra cosa, como b desaparece cuando derivas tendrias que despejarla por limite, ya que los limites laterales a x=1 tambien tienen que ser iguales, entonces reemplazas a por 1 y despejas b, que a mi me dio b=4

Si si, pero vos pusiste la derivada como 2x+b fijate bien, no lo digo mal.

si, obtuve b=4 y a=1

Para empezar; (x²)²=x^4, por lo que tu denominador es(x^2+1)^4
A mi me queda -2x[(x²+1)²-2(x²+1)(-x²+1)]/(x²+1)^4

Pero podés racionalizar el denominador con (x^2+1), con lo cual el denominador queda ^3.. No es así?

fijate que desde lo que te deje yo puedes simplificar (x²+1). Entonces te queda -2x[2x²-1]/(x²+1)³

Lo que hizo roberto esta bien, capas que le erraste en algun signo, a mi me da lo mismo que el.

Si todas las cuentas están bien, hace ruffini

qué pone?

Pone: f(-3), f(-1), f(3), f(4).

entonces si, cuando pone f(A) significa sustituir (valuar) en A la ecuacion donde haya una x, despues si te pidiera escribir el punto seria (x,y) donde x es el valor que esta entre parentesis y Y la respuesta, por ejemplo: f(3)=2 el punto seria (3,2).

en el ultimo es 4/5 no -4/5

Todo lo demas esta bien?

No, fiajte donde pusiste caso 3, pusiste 4x-2 y es -1, además que el conjunto solución tampoco esta correcto

La solución seria todos los x menores a 3/5

Cual seria el conjunto solucion?

(-oo;3/5)

A.V lo que anule el denominador, A.H si el grado de el numerador es igual al del denominador se dividen los términos que lo acompañan, si el de arriba es mas grande no tiene y si el de abajo es mas grande es 0

Eso es lo mas básico

Tiene asintota horizontal si el grado del numerador es un grado mayor que el denominador
Tiene asintota vertical si el dominio no es todo |R (existe algun valor de x que anula el denominador)
Te sugiero los videos de Asintotas #nosvemosenclase

mira tienes el 14.33333..... =x entonces 10x=143.3333333 ahora restas estas 2 te queda 9x=129 y despejas la x x=129/9 esa es la respuesta

Tambien podes separar al 14 del 0,33333, escribir a este como 1/3 y hacer la suma, 14+1/3=43/3