Ejercicio 8)

Ejercicio 9

Para no escribir de más,digamos que 2u=x,ahora observa que (sec²x-1)/sec²x=1-(1/sec²x), como secx=1/cosx,entonces 1/sec²x=cos²x,así,tenemos que:

 (sec²x-1)/sec²x=1-(1/sec²x)=1-cos²x=sen²x

La última igualdad se da porque cos²x+sen²x=1

Tienes la inecuación (observa que aplicamos la propiedad de las potencias con exponente negativo en el segundo término del argumento del valor absoluto):

|5 + 1/x| > 1 (*),

y observa que debe cumplirse la condición: x ≠ 0;

luego, extraes denominador común en el argumento del valor absoluto, y queda:

|(5x + 1)/x| > 1, distribuyes el valor absoluto en el primer miembro, y y queda:

|5x + 1|/|x| > 1, multiplicas en ambos miembros por |x| (observa que esta expresión es estrictamente positiva), y queda:

|5x + 1| > |x|, elevas al cuadrado en ambos miembros (observa que los dos miembros son positivos), y queda:

(5x + 1)² > x², desarrollas el primer miembro, luego restas x² en ambos miembros, y queda:

24x² + 10x + 1 > 0,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro (observa que su coeficiente principal es 24, y que  sus raíces son -1/6 y -1/4), y queda:

24*(x + 1/6)*(x + 1/4) > 0, divides en ambos miembros por 24 (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

(x + 1/6)*(x + 1/4) > 0;

luego, tienes dos opciones:

1°)

los dos factores son estrictamente negativos, por lo que tienes:

x + 1/6 < 0, de aquí despejas: x < -1/6,

x + 1/4 < 0, de aquí despejas: x < -1/4,

y observa que los elementos que cumplen con ambas inecuaciones pertenecen al intervalo: I₁ = (-∞;-1/4);

2°)

los dos factores son estrictamente positivos, por lo que tienes:

x + 1/6 > 0, de aquí despejas: x > -1/6,

x + 1/4 > 0, de aquí despejas: x > -1/4,

y observa que los elementos que cumplen con ambas inecuaciones pertenecen al intervalo: I₂ = (-1/6;+∞);

luego, planteas la expresión del conjunto solución de la inecuación de tu enunciado como la unión de los dos intervalos que tienes determinados, con la condición que tienes remarcada (x ≠ 0), y queda:

S = (-∞;-1/4) ∪ (-1/6;0) ∪ (0;+∞).

Espero haberte ayudado.

https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/-%5Cint%5Csqrt%7B12%2B4x-x%5E%7B2%7D%7D

f(x)=xⁿe^-x

f'(x)=e^-x(nx^n-1-xⁿ)

f'(x)=0 => e^-x(nx^n-1-xⁿ)=0  => nx^n-1-xⁿ=0 => x^n-1(n-x)=0 => x₁=0 ^x₂=n

f''(x)=e^-x(n²x^n-2-nx^n-2-2nx^n-1+xⁿ)

f''(0)=0

f''(n)=-n^n-1<0 => Máx

te dejo hallar la tercera derivada y sustituir el cero

 En x=n la función presenta un Máximo y en x=0 un mínimo si n es par y un punto de inflexión si n es impar

¿Por qué es necesario a veces hallar la tercera derivada o en general, la enésima derivada de la función para estudiar sus máximos o mínimos?

Lo que has hecho tú está bien. 

Te mostramos una forma.

Tienes la ecuación diferencial lineal, de primer grado y de primer orden:

y' = y + 2*t*e^t/(1 + t²), aquí restas y en ambos miembros, y queda:

y' - y = 2*t*e^t/(1 + t²) (1),

con la condición inicial:

y(0) = 3.

Luego, vamos por pasos.

1°)

Planteas la condición para el factor integrante, y para ello planteas la ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación señalada (1), y queda:

μ' - μ = 0, sumas y en ambos miembros, y queda:

μ' = μ, expresas al primer miembro como un cociente entre diferenciales, y queda:

dμ/dt = μ, separas variables, y queda:

dμ/μ = dt, integras en ambos miembros, y queda (observa que omitimos la constante de integración):

ln(μ) = t, compones en ambos miembros con la función exponencial natural, y queda:

μ = e^t, que es la expresión del factor integrante.

2°)

Planteas la expresión factorizada de la solución general, con el factor integrante como uno de sus factores, y queda:

y = Y*μ, sustituyes la expresión del factor integrante que tienes en tu enunciado, y queda:

y = Y*e^t (2), 

derivas miembro a miembro en la ecuación señalada (1) (observa que debes aplicar la Regla de la Multiplicación de Funciones en el segundo miembro), y queda:

y' = Y'*e^t + Y*e^t (3);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (3) (2) en al ecuación diferencial señalada (1), y queda:

Y'*e^t + Y*e^t - Y*e^t = 2*t*e^t/(1 + t²),

cancelas términos opuestos en el primer miembro, y queda:

Y'*e^t = 2*t*e^t/(1 + t²),

divides por et en ambos miembros, y queda:

Y' = 2*t/(1 + t²),

expresas el primer miembro como cociente entre diferenciales, y queda:

dY/dt = 2*t/(1 + t²),

separas variables, y queda:

dY = [2*t/(1 + t²)]*dt, 

integras en ambos miembros, y queda (observa que aquí debes corregir en tu desarrollo):

Y = ln(1 + t²) + C;

luego, sustituyes esta última expresión en el primer factor del segundo miembro de la ecuación señalada (2), y queda:

y = [ln(1 + t²) + C]*e^t,

que es una expresión explícita de la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado.

3°)

Luego, a partir de la condición inicial de tu enunciado, tienes los valores: t = 0, y = 3, los reemplazas en la expresión de la solución general que tienes remarcada, resuelves, y luego despejas:

C = 3,

que es el valor particular de la constante de integración para la condición inicial de tu enunciado;

luego, reemplazas este último valor en la expresión de la solución general, y queda:

y = [ln(1 + t²) + 3]*e^t,

que es una expresión explícita de la solución particular de la ecuación diferencial de tu enunciado, con la condición inicial allí indicada.

Espero haberte ayudado.