Tienes la ecuación diferencial:

y' = 8*t³*e^-2*y (1),

con la condición inicial:

y(1) = 0 (2).

Expresas al primer miembro de la ecuación señalada (1) como cociente entre diferenciales, aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo en el último factor del segundo miembro, y queda:

dy/dt = 8*t³/e^2*y,

separas variables, y queda:

e^2*y*dy = 8*t³*dt,

multiplicas por 2 en ambos miembros, y queda:

2*e^2*y*dy = 16*t³*dt,

integras en ambos miembros, y queda:

e^2*y = 4*t⁴ + C (3),

que es la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado, presentada en forma implícita.

Luego, a partir de la condición inicial señalada (2) tienes los valores: t = 1, y = 0, los reemplazas en la ecuación señalada (3), y queda:

e^2*0 = 4*1⁴ + C, resuelves términos numéricos, y queda:

1 = 4 + C, restas 4 en ambos miembros, y luego despejas:

C = -3, que es el valor particular de la constante de integración para la condición inicial de tu enunciado;

luego, reemplazas este último valor en la ecuación señalada (3), y queda:

e^2*y = 4*t⁴ - 3, compones en ambos miembros con la función inversa de la función exponencial natural, y queda:

2*y = ln(4*t⁴ - 3), multiplicas por 1/2 en ambos miembros, y queda:

y = (1/2)*ln(4*t⁴ - 3),

que es la expresión explícita de la solución particular de la ecuación diferencial de tu enunciado, con la condición inicial indicada en el mismo,

y observa que se debe cumplir la condición:

4*t⁴ - 3 > 0.

y puedes verificar la validez de la misma (te dejo la tarea de plantear la expresión de la función derivada, y de sustituir expresiones en la ecuación diferencial de tu enunciado).

Espero haberte ayudado.

Has resuelto bien el problema, pero te ha quedado confuso el desarrollo de tu tarea.

Has planteado y determinado correctamente la expresión de un vector director de la recta buscada, y te ha quedado:

u = < 0 ; -1 ; 1 >.

Luego, con el punto conocido de la recta buscada: M(1,5,4) y la expresión del vector director, planteas una ecuación vectorial paramétrica de la recta buscada, y queda:

< 1 ; 5 ; 4 > - < x ; y ; z > = λ*< 0 ; -1 ; 1 > (1), con λ ∈ R.

Luego, tienes la expresión planteada de un segundo punto perteneciente a la recta buscada: N(1,a,2), sustituyes sus coordenadas en el primer término de la ecuación vectorial señalad (1), y queda:

< 1 ; 5 ; 4 > - < 1 ; a ; 2 > = λ*< 0 ; -1 ; 1 >,

resuelves la resta vectorial en el primer miembro, resuelves la multiplicación de escalar por vector en el segundo miembro, y queda:

< 0 ; 5-a ; 2 > = < 0 ; -λ ; λ >;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda:

0 = 0, que es una Identidad Verdadera,

5 - a = -λ, de aquí despejas: a = 5 + λ (2),

2 = λ;

luego, reemplazas el valor del parámetro que tienes remarcado en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda:

a = 7.

Espero haberte ayudado.

Tienes bien el ejercicio, y el vector director está bien obtenido, pero el vector lo tienes ya implícitamente cuando resuelves el sistema y las soluciones son las ecuaciones paramétricas de la recta  x=1; y = 5-λ;  z =λ,   cuyo vector es el (0, -1,1).  Y sí, x = 1 siempre.

Has separado variables, y te ha quedado la ecuación:

(1/t)*dt = [8*y/(1 - 2*y²)]*dy,

extraes factor numérico -2 en el segundo miembro, y queda:

(1/t)*dt = -2*[-4*y/(1 - 2*y²)]*dy,

integras en ambos miembros, y queda:

ln(t) + C = -2*ln(1 - 2*y²),

expresas a la constante C como el logaritmo de otra constante positiva, aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro, y queda:

ln(t) + ln(k) = ln[(1 - 2*y²)^-2], con k ∈ R, k > 0;

luego, aplicas la propiedad del logaritmo de una multiplicación en el primer miembro, y queda:

ln(k*t) = ln[(1 - 2*y²)^-2],

compones en ambos miembros con la función inversa de la función logarítmica natural, y queda:

k*t = (1 - 2*y²)^-2, con k ∈ R, k > 0,

que es una ecuación implícita que permite definir a la función solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado en forma implícita.

Espero haberte ayudado.

Has separado correctamente las variables, y te ha quedado la ecuación diferencial:

y²*dy = (t² - 1)*dt,

integral en ambos miembros (observa que debes corregir tu primer miembro), y queda:

y³/3 = t³/3 - t + C,

multiplicas por 3 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

y³ = t³ - 3*t + 3*C,

expresas al último término como una nueva constante, y queda:

y³ = t³ - 3*t + k, con k ∈ R;

luego, extraes raíz cúbica en ambos miembros, y queda:

y = ∛(t³ - 3*t + k), con k ∈ R,

que es la expresión explícita de la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Son ecuaciones de la recta en el plano (no en el espacio).

El vector de r es (5, 2)   y el vector de s es (-a, 10),    para que sean perpendiculares, el producto escalar tiene que ser cero,   -5a + 20 = 0:    a = 4.

Para que sean paralelas 5/-a = 2/10,  entonces  50 = -2a,   de donde a = -25

No sería paralelas para a=4 y perpendiculares para a=-25? Gracias de nuevo jeje

Sí, sale landa = -2.

El orden siempre se expresa así: nº filas x nº columnas.  En este caso la matriz tiene 3 filas y 4 columnas, El orden es 3 x 4. La opción correcta es la b)

Primero halla la ecuacion del plano...  Ecuación del plano

Y despues sustituye el vector w en la ecuacion del plano para obligar a que pertenezca al plano.