Tienes la ecuación vectorial del plano:

(<x,y,z> - <1,2,-1>)•<2,-1,3> = 0, resuelves la resta entre expresiones vectoriales en el primer factor, y queda:

<x-1,y-2,z+1>•<2,-1,3> = 0, desarrollas el producto escalar entre expresiones vectoriales, y queda:

2(x-1) - 1(y-2) + 3(z+1) = 0, distribuyes, reduces términos numéricos, y queda:

2x - y + 3z + 3 = 0, que es una ecuación cartesiana implícita del plano;

luego, haces pasajes de términos, y queda:

-y = -2x - 3z - 3, multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:

y = 2x + 3z + 3 (*), que es una ecuación cartesiana explícita del plano;

luego, considera un punto genérico del plano: A(x,y,z),

reemplazas su ordenada según la ecuación explícita del plano, y queda:

A(x,2x+3z+3,z), que s la expresión general de un punto perteneciente al plano.

Luego, planteas la expresión de la distancia entre el punto P y el punto genérico A, y queda:

d(P,A) = 18, sustituyes la expresión de la distancia en el primer miembro, y queda:

√( (x - 1)² + (2x+3z+3 - 2)² + (z + 1)² ) = 18,

haces pasaje de raíz como potencia, reduces términos semejantes en el segundo agrupamiento, y queda:

(x - 1)² + (2x + 3z + 1)² + (z + 1)² = 324;

luego, puedes asignar una valor conveniente a una de las dos coordenadas del punto, por ejemplo: z = -1;

luego, reemplazas, cancelas el término nulo, reduces términos numéricos en el segundo agrupamiento, y queda:

(x - 1)² + (2x - 2)² = 324;

desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

x² - 2x + 1 + 4x² - 8x + 4 = 324;

haces pasaje de término, reduces términos semejantes, ordenas términos, y queda:

5x² - 10x - 319 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

x = ( 10-√(6480) )/10 = ( 10-2√(1620) )/10 = 1-√(1620)/5,

reemplazas los valores remarcados en la ecuación cartesiana explícita del plano señalada (*), y queda:

y = 2(1-√(1620)/5) + 3(-1) + 3 = 2-2√(1620)/5;

y con los valores remarcados, tienes las coordenadas de un primer punto que cumple las condiciones de tu enunciado:

A₁( 1-√(1620)/5 , 2-2√(1620)/5 , -1 );

2°)

x = ( 10+√(6480) )/10 = ( 10+2√(1620) )/10 = 1+√(1620)/5,

reemplazas los valores remarcados en la ecuación cartesiana explícita del plano señalada (*), y queda:

y = 2(1+√(1620)/5) + 3(-1) + 3 = 2+2√(1620)/5;

y con los valores remarcados, tienes las coordenadas de un segundo punto que cumple las condiciones de tu enunciado:

A₂( 1+√(1620)/5 , 2+2√(1620)/5 , -1 ).

Espero haberte ayudado.

siguiendo tu procedimiento llegue a un resultado y al graficarlo en geogebra el no cumplia , y probe con tu resultado y me pasa lo mismo , no pertenece al mismo plano el punto hallado 

la respuesta es la a) pues ∂f/ ∂y=xe^yz +xyze^yz 

∂²f/∂x∂y=e^yz+yze^yz 

∂²f/∂x∂y=(1+yz)e^yz 

No tendrías que derivar primero por x

Ja he me ha dado, gracias

Revisa las operaciones:

Observa que el radio de la semicircunferencia es: r = x/2 (*), y que su longitud es: L₁ = π*r = π*(x/2) = (π/2)*x (0).

Luego, expresas al perímetro de la puerta como la suma de una base y dos alturas de la porción rectangular más la longitud de la semicircunferencia, y queda:

P = x + 2*y + (π/2)*x (1).

Luego, plantea el área del semicírculo superior: A₁ = (1/2)*π*r² =  (1/2)*π*(x/2)² =  (1/2)*π*x²/4 = (π/8)*x²;

luego, plantea el área de la porción rectangular: A₂ = x*y;

luego, plantea la expresión del área total de la puerta:

A₁ + A₂ = A, sustituyes expresiones, y queda:

(π/8)*x² + x*y = 16 (en m²), multiplicas por 8 en todos los términos, y queda:

π*x² + 8*x*y = 128, haces pasaje de término, y queda:

8*x*y =  128 - π*x², divides en todos los términos de la ecuación por 8*x, simplificas, y queda:

y = 16/x - (π/8)*x (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la expresión del perímetro señalada (1), y queda:

P = x + 2*(16/x - (π/8)*x) + (π/2)*x, distribuyes el segundo término, y queda:

P = x + 32/x - (π/4)*x + (π/2)*x, ordenas términos, reduces términos semejantes, extraes factor común entre los términos lineales, y queda:

P = (1+π/4)*x + 32/x (3),

que es la expresión del perímetro de la puerta, como función de la longitud de su base,

y observa que el dominio de la función es: D = (0,+∞).

Luego, planteas la expresión de las funciones derivadas primera y segunda, y queda:

P ' = 1+π/4 - 32/x² (4),

P ' ' = 64/x³ (5),

y observa que están definidas en todo el dominio de la función perímetro.

Luego, planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

P ' = 0, sustituyes la expresión señalada (4) en el primer miembro, y queda:

1+π/4 - 32/x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

1+π/4 = 32/x², multiplicas en todos los términos de la ecuación por 4, y queda:

4+π = 128/x², haces pasaje de divisor como factor, y queda:

(4+π)*x² = 128, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x² = 128/(4+π), haces pasaje de potencia como raíz, y queda (observa que elegimos la solución positiva):

x = √( 128/(4+π) ), que es la longitud crítica de la base de la puerta;

luego, evalúas la expresión de la función derivada segunda señalada (5) para el valor crítico remarcado (te dejo el cálculo),

y observa que la función derivada segunda toma valor positivo, por lo que tienes que la gráfica de la función perímetro es cóncava hacia arriba para este valor crítico,

y puedes concluir que el perímetro es mínimo para este valor;

luego, reemplazas en la expresión de la función perímetro señalada (3), y tienes el valor del perímetro mínimo (te dejo la tarea);

luego, reemplazas el valor remarcado en las expresiones señaladas (*) (0) (1) y tienes los valores del radio de la porción semicircular de la puerta, de la longitud de su borde, y de la altura de la porción rectangular (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Revisa operaciones:

Muchas gracias!!!

Muchisimas gracias antonio