Ayuda con este ejercicio de espacios vectoriales porfavor.
Muchisimas gracias
es lo mismo que se aplica con vectores en R^n como en los videos, solo que los vectores son los coeficientes de los polinomios. En tu caso, para la matriz de B a B' por ejemplo, debes hallar combinaciones lineales de cada uno de los polinomios de la base B, en funcion de B':
x = a(1) + b(1+x) + c(x^2)
pero esto es una ecuacion con 4 incognitas, como hallamos las otras 2 ecuaciones? pues este polinomio se cumple para todo x perteneciente a los reales, entonces si evaluamos para x=-1, x=0, x=1 obtenemos:
-1 = a+c
0=a+b
1=a+2b+c
y eso es un sistema, te dara un vector (a,b,c)
Lo mismo haces para:
1+x^2 = d(1) + e(1+x) + f(x^2)
que te dara un vector (d,e,f),
y tambien para:
x+x^2 = g(1) + h(1+x) + i(x^2)
que te dara un vector (g,h,i)
Y esos 3 vectores los colocas como columnas de una matriz, que sera tu matriz de cambio de base de B a B':
a...d...g
b...e...h
c...f....i
Entonces por ejemplo si tienes un polinomio en terminos de la base B:
t(1) + u(1+x) + v(x^2)
y lo quieres transformar a un polinomio en base B', multiplicas la matriz anterior por el vector columna (t,u,v), y te dara un vector con los coeficientes del mismo polinomio pero en términos de la base B'
Para la matriz de B' a B puedes hacer el mismo procedimiento (al revés), o simplemente hallar la inversa.
En cuanto al polinomio que te dan, tienes que hallar nuevas matrices de cambio de base, una matriz de Bc a B , y otra matriz de Bc a B'
donde Bc=base canonica -> {1,x,x^2}
