Observa que el dominio de la función es D = (-2,+∞).
Luego planteamos las expresiones de las derivadas primera y segunda:
f ' (x) = 1/(x + 2), observa que está definida en todo el dominio,
f ' ' (x) = - 1/(x + 2)2, observa que está definida en todo el dominio.
1°) Información que obtenemos a partir de la expresión de la función:
a) Asíntotas Verticales: Lím(x→-2+) f(x) = Lím(x→ -2+) ln(x + 2) = -∞,
por lo que tenemos que la recta de ecuación x = - 2 es una Asíntota Vertical inferior de la gráfica de la función.
b) Asíntotas Horizontales: Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) ln(x + 2) = +∞,
por lo que tenemos que la gráfica de la función no presenta Asíntota Horizontal.
2°) Información que obtenemos a partir de la expresión de la derivada primera
c) Puntos críticos (posibles máximos o posibles mínimos):
f ' (x) = 0, sustituimos y queda:
1/(x + 2) = 0, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:
1 = 0, que es una identidad absurda, por lo que concluimos que la gráfica de la función no presenta puntos críticos.
d) Posibles puntos de inflexión:
f ' ' (x) = 0, sustituimos y queda:
- 1/(x + 2)2 = 0, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:
- 1 = 0, que es una identidad absurda, por lo que concluimos que la gráfica de la función no presenta puntos de inflexión.
e) Intervalos de crecimiento y de concavidad: tomamos un valor intermedio, por ejemplo x = -1 (observa que como no tenemos puntos de discontinuidad ni puntos críticos ni posibles puntos de inflexión, consideramos un punto testigo único), luego
evaluamos:
f(-1) = ln(-1 + 2) = ln(1) = 0, por lo que el punto de coordenadas: A(-1,0) pertenece a la gráfica de la función;
f ' (-1) = 1/(-1+2) = 1/1 = 1 > 0, por lo que tenemos que la gráfica de la función es creciente en todo su dominio;
f ' ' (-1) = - 1/(-1+2)2 = -1/1 = - 1 < 0, por lo que concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio.
Espero haberte ayudado.
