Solo tiene una asintota horizontal   

lim f(x)=1

x->∞

Has resuelto correctamente el ejercicio. Solo debes cuidar cómo muestras los pasos de tu trabajo para calcular las medidas de los ángulos,  y las longitudes de la altura y de los lados del triángulo.

Espero haberte ayudado.

Debes aplicar la regla de derivación para un producto de funciones: 

y = u*v

y ' = u ' * v + u * v '

En tu ejercicio tienes:

u = 2*cosx, cuya derivada queda: u ' = 2*(- senx) = - 2*senx

v = senx, cuya derivada queda: v ' = cosx

Luego, aplicas la regla y queda:

y ' = - 2*senx*senx + 2*cosx*cosx = reducimos factores = - 2*sen²x + 2*cos²x = extraemos factor común:

= 2*(- sen²x + cos²x) = aplicamos la identidad trigonométrica del coseno del doble de un ángulo = 2*cos(2x).

Espero haberte ayudado.

Lo siento de corazon pero tu duda es más propia de una olimpiada matematica que de un examen de probabilidad preuniversitario.. 
No puedo ayudarte. Espero lo entiendas

Da lo mismo. Y tiene que salir lo mismo.

Observa que es un límite indeterminado, ya que el numerador y el denominador tienden ambos a cero.

Luego, aplicamos la Regla de L'Hôpital, para lo que derivamos independientemente al numerador y al denominador:

N ' = 4sen(2x)*cos(2x) = 2*2sen(2x)*cos(2x) = aplicamos identidad trigonométrica del seno del doble de un ángulo = 2*sen(4x),

D ' = 3x² + 2x,

luego, como ambas expresiones tienden a cero, volvemos a derivar independientemente y queda:

N ' ' = 8*cos(4x) (observa que tiende a 8),

D ' ' = 6x + 2 (observa que tiende a 2),

luego, tienes que el límite existe y su valor es: L = 8/2 = 4.

Luego, presentamos el planteo con más formalidad:

L = Lím(x→0) sen²(2x)/(x³ + x²) = aplicamos la Regla de L'Hôpital:

= Lím(x→0) 2*sen(4x)/(3x² + 2x) = aplicamos la Regla de L'Hôpital:

= Lím(x→0) 8*cos(4x)/(6x + 2) = evaluamos:

= 8*1/(0 + 2) = 8/2 = 4.

Espero haberte ayudado.

Observa que tienes la ecuación de la recta R:

y + x = - 3, haces pasaje de término y queda su ecuación cartesiana explícita: y = - x - 3, de donde tienes que su pendiente es: m_R = -1.

Luego, tienes la expresión de la función:

f(x) = x³ + ax, cuya derivada queda:

f ' (x) = 3x² + a, 

luego, evaluamos para x = 0 y obtenemos la pendiente de la recta tangente:

m_T = f ' (0) = a.

Luego, como tenemos en el enunciado que la recta tangente T es perpendicular a la recta R, planteamos la condición de perpendicularidad:

m_T = - 1/m_R, sustituimos y queda:

a = - 1/(-1) = 1.

Luego, la expresión de la función queda: f(x) = x³ + x,

la ordenada del punto de contacto entre la recta tangente y la gráfica de la función queda: y = f(0) = 0,

luego, tenemos que el punto de contacto tiene coordenadas: A(0,0),

y tenemos que la ecuación de la recta tangente queda: y = x.

Espero haberte ayudado.

Muchisimas gracias!!!

Observa que el centro de desarrollo es c = 4, y que debemos evaluar la función para x = 6.

Luego, tenemos la función cuya expresión es: f(x) = √(x) = x^1/2, luego planteamos sus derivadas hasta el orden 4. las evaluamos y planteamos los coeficientes:

f ⁽⁰⁾(x) = x^1/2, luego tenemos: a₀ = f(4) / 0! = 2/1 = 2,

f⁽¹⁾(x) = (1/2)x^-1/2, luego tenemos: a₁ = f⁽¹⁾(4) / 1! = 1/4,

f⁽²⁾(x) = (-1/4)x^-3/2, luego tenemos: a₂ = f⁽²⁾(4) / 2! = - 1/64,

f⁽³⁾(x) = (3/8)x^-5/2, luego tenemos: a₃ = f⁽³⁾(4) / 3! = 1/512,

f⁽⁴⁾(x) = (-15/16)x^-7/2, luego tenemos: a_R = f⁽⁴⁾(z) / 4! =(-5/128)z^-7/2, con 4 ≤ z ≤ 6.

Luego, planteamos el Polinomio de Taylor de orden 3 y grado 3:

P(x) = 2 + (1/4)(x - 4) - (1/64)(x - 4)² + (1/512)(x - 4)³ (1).

Luego, planteamos la expresión del error con la Fórmula de Lagrange:

R(x) = ( f⁽⁴⁾(z) / 4! )(x - 4)⁴ = ( (-5/128)z^-7/2 )(x - 4)⁴, 

luego evaluamos la expresión del error para x = 6:

R(6) =  (-5/128)z^-7/2 )*2⁴ = (- 5/8)z^-7/2 = - 5 / (8z^7/2);

luego parsamos a la acotación del error, y para ello planteamos su valor absoluto:

| R(6) | = | - 5 / (8z^7/2) | = 5 / 8z^7/2 = acotamos (reemplazamos z por 4 que es el extremo menor del intervalo) y queda:

| R(6) | ≤ 5/(8*4^7/2)  = 5/(8*128) = 5/1024 = 0,0048828125.

Luego, el valor aproximado de la función para x = 6 queda planteado:

f(6) ≅ P(6), reemplazamos en las expresiones y queda:

√(6) ≅ 2 + (1/4)(6 - 4) - (1/64)(6 - 4)² + (1/512)(6 - 4)³ = 2 + 1/2 - 1/16 + 1/64 = 2,453125.

Luego, verificamos con calculadora la validez de la cota de error:

√(6) - P(6) ≅ 0,00363 < | R(6) |.

Espero haberte ayudado.

 

Llamemos:

x = ⁴√(6), e y = 3/2, y observa que son dos cantidades positivas, luego planteamos:

x⁴ = ( ⁴√(6) )⁴ = 6, e y⁴ = (3/2)⁴ = 81/16.

Luego planeamos el cociente:

(y/x)⁴ = y⁴/x⁴ = (81/16) / 6 = 27/32 = 0,84375.

Luego, a partir de la igualdad remarcada, plenteamos:

(y/x)⁴ = 27/32 < 1,

hacemos pasaje de potencia como raíz en la desigualdad remarcada y queda:

y/x < 1,

luego hacemos pasaje de divisor como facotr  (observa que no cambia la desigualdad) y queda:

y < x,

reemplazamos valores y queda:

3/2 < ⁴√(6).

Puedes verificar con tu calculadora que la desigualdad es verdadera.

Espero haberte ayudado.

Observa que es una integral impropia (su límite superior de integración es infinito, y las raíces del argumento de la raíz en el denominador no pertenecen al intervalo de integración).

1°)

Plantea la integral indefinida, que puedes resolver por medio de la sustitución (cambio de variable):

w = x² - 6, de donde tienes: dw = 2x*dx y de donde puedes despejar: dw/2 = x*dx.

Luego sustituyes y la integral indefinidad queda:

I_i = (1/2)*∫ dw/∛(w) = (1/2)*∫ w^-1/3*dw = (1/2)*(3/2)*w2/3 + C = (3/4)*w^2/3 + C = sustituimos = (3/4)*(x² - 6)^2/3 + C.

2°)

Luego plantea la integral definida entre 3 y un límite genérico a (indicamos con corchetes que debemos evaluar con Regla de Barrow):

I_d = [ (3/4)*(x² - 6)^2/3 ] = (3/4)*(a² - 6)^2/3 - (3/4)*(0² - 6)^2/3 = (3/4)*(a² - 6)^2/3 - (3/4)*(- 6)^2/3 = (3/4)*(a² - 6)^2/3 - (3/4)*∛(36).

3°)

Plantea el límite para x tendiendo a +infinito de la expresión de la integral definida:

I = Lím(x→+∞) ( (3/4)*(a² - 6)^2/3 - (3/4)*∛(36) ) = +∞ (observa que el primer término tiende a +infinito y que el segundo término es constante).

Por lo tanto, concluimos que la integral impropia del enunciado es divergente.

Espero haberte ayudado.