Hola Sonia, 

La derivada es -(8x+4)/(x²+x)²  que al simplificar sacando factor común -4(2x+1)/[x²(x+1)²]

Espero haberte ayudado

gracias por tu respuesta, 

pero el denominador no quedaría como v^2 ?? Es decir: (x^2 + x) ? Mi parte intermedia era ésta: (x^2+x) -4 x 2x  + 1 / (x^2+x^2)  ---según la regla u/v.

Lo acabo de ver,

Es la función completa que tengas en el denominador que queda elevada al cuadrado independientemente de lo que tengas dentro del denominador.

Es decir si tienes (x+3) por ejemplo, en el denominador te quedará (x+3)² o si tienes (x²+x+3) te quedará  (x²+x+3)²  

Lo mismo si tienes solo una x => x²

La pendiente está bien calculada. Te falta el punto de tangencia (1, f(1)) y la ecuación de la recta tangente.

¿Y qué pasos tendría que dar? Porque ahí ya estoy perdida.

Gracias

Reemplaza la x en la función original por 1 para conseguir la coordenada y del punto en cuestión, con eso resuelves lo primero

Luego aplica 

y-y1 = m(x-x1)

En y1 reemplaza el número que te dió al reemplazar la x en la función original, en x1 reemplazas por el 1, y en la m reemplaza por la pendiente que has calculado, luego despejas la ecuación para y

y = y1 + m(x-x1)

Y ya tienes la ecuación de la recta tangente

Total que queda... y = 2 + 1/9 ?

Reemplazando x por 1 en la función original obtengo y=2

Punto de tangencia (1,2)

Ahora de la ecuación de la recta tangente

y = y1 + m(x-x1)

y = 2 + (1/4)(x - 1)

y = (1/4)x +2 - (1/4)

Solo resuelve 2 - (1/4) y ya tienes la ecuación de la recta tangente

A ver.. te ayudo con el (a)

f(x)=(1/2)x^4 - (3/2)x^2 +7

a)

La derivada de 7 es cero, porque la derivada de una constante es 0, por eso no la voy a considerar en el resultado final

Luego utiliza la siguiente fórmula de derivada para los otros 2 miembros dela función

d(x^n) = nx^(n-1)

La derivada de la variable elevada a la n es igual a bajar multiplicando el exponente y restarle uno arriba, checa un ejemplo

d(x^2) 

Bajo el 2 a multiplicar y luego siguiendo la fórmula que te dije, debo restarle uno al exponente, o sea tengo que restarle 1 al 2

2.x^(2-1)

Que bien puedo escribirlo como 

2x --> esta es la derivada de x^2

Volvamos al ejercicio

Derivo primero (1/2)x^4

Bajo el 4 a multiplicar y resto 1 al exponente

4.(1/2).x^(4-1)

2x^3 --> esta es la derivada de (1/2)x^4

Prosigo con (-3/2)x^2

Bajo el 2 que esta como exponente a multiplicar y le resto 1

2.(-3/2).x^(2-1)

La derivada del segundo miembro es

-3x

El resultado del punto a es

dy/dx = 2x^3 - 3x

Lo tienes hecho debajo del video.

No sabria decirte si todas las cuentas estan bien pero si se resuleve asi, una idea para no estar operando con tantas fracciones es hacer una sustitucion al principio

En efecto: la TVM  (o cociente incremental) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)):

Δy/Δx=(f(b)-f(a))/(b-a)

i)  x>=0,  xy>=0

Esto es, x>=0, y>=0  (primer cuadrante, con bordes incluidos)

ii) -1<=x+y<=1

Sistema de semiplanos:

x+y>=-1

x+y<=1.

La franja del plano entre las rectas paralelas (que se incluyen):  x+y=-1    y   x+y=1

La potencia está basada en productos... 

Si pones foto del enunciado original, nos facilitas la ayuda.