Prueba a subir el denominador arriba con exponente negativo y aplica la fórmula en la que sumas uno al exponente y tendrás que derivar también lo de abajo para encontrar su derivada en el numerador

Tu integral es equivalente a esta:   ∫ (x-1)^-12dx

 ∫ (x-1)^-12dx =      [(x-1)^-11]/-11=        1/[-11(x-1)¹¹]=         -1/[11(x-1)¹¹ + C

Sólo se ven etiquetas de código sin decodificar

Mejor asi 

u= logaritmo.

Ahí arriba lo he intentado pero no se...

Pregunta dudas concretas, porque lo que vemos son 6 ejercicios :)

Va Manuel 

Muchísimas gracias, César.

Una pregunta, en el primer apartado, ¿de dónde obtuviste 3²?

Muchísimas gracias, Antonio. Te lo agradezco enormemente, pues estos ejercicios me entraron en un examen hace poco y no los sabía hacer. Me has aclarado todas las dudas. Un cordial saludo.

César lo obtuvo de: ³√(3⁶/10³)= (∛3⁶/∛10³)= 3^6/2/10^3/3= 3²/10

Muchas gracias, Maths. Me aclaraste la duda. Un cordial saludo.

Has planteado bien el cambio de variable, luego tienes: 3cos(3x)dx = dt, de donde puedes despejar: cos(3x)dx = dt/3,

luego pasamos a la integral:

I = ∫  (cos 3x ) / (1+sen 3x ) 5  dx, ordenamos factores en el argumento de la integral y queda:

I = ∫ 1/(1+sen 3x )5  (cos 3x ) dx, sustituimos y queda:

I = ∫ (1/t⁵)*(dt/3) = (1/3) * ∫ t^-5dt, y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

El cambio no lo he planteado yo, me lo han dado

Sería así : 1/3 ∫ t^-5  dt = 1/ 3 (t^-4 )/ -4 = 1/3 1/ (-4t⁴ ) +C 

Muchísimas gracias, Antonio.

Muchas gracias, Maths.

14)

I) Inyecitvidad: consideramos x₁ y x₂ pertenecientes a R, y x₁ ≠ x₂. Luego planteamos:

x₁ ≠ x₂ , multiplicamos por 1/3 en ambos miembros de la igualdad negada:

x1 /3 ≠ x2 / 3 , restamos 5 en ambos miembros de la igualdad negada:

x1 /3 - 5 ≠ x2 / 3 - 5 , sustituimos expesiones:

g(x₁) ≠ g(x₂), por lo que concluimos que la función g es inyectiva. 

II) Epiyectividad: llamamos g(x) = y. Luego planteamos:

g(x) = y, sustituimos la expresión de la función:

x/3 - 5 = y, hacemos pasaje de término:

x/3 = y + 5, multiplicamos por 3 en todos los términos de la ecuación:

x = 3y + 15, por lo que tenemos que para cada valor y real existe un valor x real y la función g es epiyectiva.

III) Como la función es inyectiva y también epiyectiva, decimos que es biyectiva y que admite función inversa y, para hallar la expresión de la función inversa, permutamos variables en la última ecuación remarcada y queda:

y = 3x + 15, por lo que la expresión de la función inversa queda: g^-1(x) = 3x + 15, con dominio R e imagen R.

Por lo tanto, concluimos que las opciones I) y II) son verdaderas, y la opción III) es falsa.

Espero haberte ayudado.

15)

Epiyectividad. Llamamos f(x) = y, luego sustituimos la expresión de la función y queda:

(4x + 3)/(x - 1) = y, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

4x + 3 = y(x - 1), distribuimos en el segundo miembro y queda:

4x + 3 = xy - y, hacemos pasajes de términos y queda:

4x - xy = - y - 3, extraemos factores comunes en ambos miembros y queda:

- x(- 4 + y) = - (y + 3), multiplicamos por -1 en ambos miembros, ordenamos términos en el agrupamiento del primer miembro y queda:

x(y - 4) = y + 3, hacemos pasaje de factor como divisor y queda.

x = (y + 3)/(y - 4), observa que debe cumplirse: y - 4 ≠ 0, lo que conduce a: y ≠ 4,

por lo que concluimos que para que la función f sea epiyectiva, debe tener codominio: B = R - {4},

por lo que la opción A es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Gracias!!