Recuerda que un espacio vectorial es subespacio de sí msmo. Por lo tanto, si tienes el espacio vectorial R³, cuya dimensión es 3, y tienes un subespacio (S) de él de dimensión 3, resulta: S = R³. luego, expresamos formalmente: S = {<x,y,z> ∈ R³}, sin ecuaciones implícitas, ya que las componentes del vector genérico son independientes unas de otras.

Espero haberte ayudado.

1) Puedes plantear el vector director de la recta r: u = <a,b>, cuyas componentes debemos determinar.

Luego, puedes plantear la ecuación continua (o simétrica de la otra recta, tienes:

2x - y + 4 = 0, haces pasajes de términos y queda:

2x = y - 4, haces pasaje de factor como divisor y queda:

x = (y - 4)/2, que también puedes escribir en la forma:

(x - 0)/1 = (y - 4)/2, luego tienes el vector director: v = <1,2>.

Luego, como las rectas son perpendiculares, tenemos que sus vectores directores son perpendiculares y el producto escalar entre ellos es igual a cero, y planteamos:

u • v = 0, sustituimos las componentes de los vectores:

<a,b> • <1,2> = 0, desarrollamos el producto escalar:

a + 2b = 0, de donde despejamos y queda: a = - 2b,

luego, expresamos al vector director:

u = <a,b> = <-2b,b> = b<-2,1>, por lo que tenemos que el vector: u = <-2,1> (o cualquier múltiplo escalar no nulo de él) es un vector director de la recta r.

Luego, pasamos a las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta r:

x = 3 - 2t

y = -2 + t

t ∈ R:

2) Comencemos por plantear el sistema de ecuaciones para encontrar el punto de corte entre las rectas r₁ y r₂:

 x - 2y + 3 = 0, de donde despejamos: x = 2y - 3 (*)

2x + y + 1 = 0

luego sustituimos en la segunda ecuación y queda:

2(2y - 3) + y + 1 = 0, distribuimos, reducimos términos semejantes y queda:

5y - 5 = 0, de donde despejamos: y = 1 (**),

luego reemplazamos en la ecuación señalada (*), resolvemos y queda: x = -1, 

por lo que tenemos que la recta s pasa por el punto de corte: Q(-1,2).

Luego, con las coordenadas de los puntos P y Q, planteamos la pendiente de la recta s:

m = (2 - 2)/(-1 - 1) = 0/(-2) = 0.

Luego pasamos a su ecuación cartesiana, para lo que empleamos las coordenadas del punto P y la pendiente:

y - 2 = 0(x - 1), resolvemos el segundo miembro y queda:

y - 2 = 0, que es la ecuación cartesiana implícita de la recta s.

Espero haberte ayudado.

A partir de aquí no entendí ↓

<a,b> • <1,2> = 0, desarrollamos el producto escalar:

a + 2b = 0, de donde despejamos y queda: a = - 2b,

luego, expresamos al vector director:

u = <a,b> = <-2b,b> = b<-2,1>, por lo que tenemos que el vector: u = <-2,1> (o cualquier múltiplo escalar no nulo de él) es un vector director de la recta r.

Luego, pasamos a las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta r:

x = 3 - 2t

y = -2 + t

t ∈ R:

Tienes el sistema de ecuaciones:

2x² + 3y² = 35

5x - 2y = 4, de donde puedes despejar: x = (4+2y)/5 (*),

luego sustituyes en la primera ecuación y queda:

2( (4+2y)/5 )² + 3y² = 35, desarrollamos el cuadrado en el primer término y queda:

2(16 + 16y + 4y²)/25 + 3y² = 35, multiplicamos por 25 en todos los términos de la ecuación, distribuimos el primer término y queda:

32 + 32y + 8y² + 75y² = 875, hacemo, s pasaje de término, reducimos y ordenamos términos y queda:

83y² + 32y - 843 = 0, cuyas soluciones son:

a) y = 3, luego reemplazas en la ecuación señalada (*), resuelves y queda: x = 2;

b) y = -281/83, luego reemplazas en la ecuación señalada (*), resuelves y queda: x = -46//83.

Luego, concluimos que el sistema tiene dos soluciones:

S₁: x = 2, y = 3;

S₂: x = -46/83, y = -281/83.

Espero haberte ayudado.

Es correcto lo que afirmas:

si el eje de giro es OX, el radio queda: r_x = x²;

si el eje de giro es OY, el radio queda: r_y = √(y).

Observa que la expresión de la función es. y = x² (forma explícita para y) o x = √(y) (forma explícita para x).

Espero haberte ayudado.

25 = 16 + c² – 8cCos(30°) 

25=16+c² -4√3 c

c² -4√3 c +16 + (-25)

c² -4√3 c -9=0    Ecuación de 2º grado para despejar c

http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/aplicaciones-de-la-derivada/maximos-minimos-y-puntos-de-inflexion/maximos-minimos-y-puntos-de-inflexion

Crecimiento/decrecimiento

1. Hacemos la primera derivada:                   f´(x)= -2x+(x³-x²)/2

2. Obtenemos las raíces de la primera derivada (puntos en los que se hace cero)          

-2x+(x³-x²)/2=0------->2x=(x³-x²)/2-------->4x= x³-x²-------->  x³-x²-4x=0------> x(x²-x-4)=0

x₁=0,              x₂=(1+√17)/2,         x=(1-√17)/2

3. Formamos intervalos representando en la recta real los valores de x₁, x₂ y x₃

4. Tomamos un valor al azar (y a nuestra conveniencia)de cada intervalo y hallamos el signo que tiene en f´(x)....por ejemplo, para estudiar el intervalo   [ (1+√17)/2,    infinito)] lo lógico sería probar con calculadora o por tanteo que (1+√17)/2 es 2.56 y entonces sustituimos x=3 en f´(x)

Si f'(x) > 0 es creciente       Si f'(x) < 0 es decreciente

Llamemos:

x: cantidad de páginas diarias que lee Óscar, a: cantidad de días que tarda Óscar en leer la novela;

y: cantidad de páginas diarias que lee Bea, b: cantidad de días que tarda Bea en leer la novela;

z: cantidad de páginas diarias que lee Ainhoa, cantidad de días que tarda Ainhoa en leer la novela:

N: cantidad de páginas que tiene la novela.

Luego tenemos, a partir del enunciado:

x = y + 3 (Óscar lee diariamente tres páginas más que Bea),

y = z + 9 (Bea lee diariamente nueve páginas más que Ainhoa);

a = b - 1 (Óscar tarda un día menos que Bea en leer la novela),

b = c - 4 (Bea tarda cuatro días menos que Bea en leer la novela).

Luego, tenemos para la cantidad de páginas de la novela:

N = xa (cantidad de páginas diarias leídas por Óscar, multiplicada por la cantidad de días que tarda en leer la novela),

N = yb (cantidad de páginas diarias leídas por Bea, multiplicada por la cantidad de días que tarda en leer la novela),

N = zc (cantidad de páginas diarias leídas por Ainhoa multiplicada por la cantidad de días que tarda en leer la novela),

Luego, tienes el sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas:

x = y + 3 (*)

y = z + 9, de donde despejas: y - 9 = z (**)

a = b - 1 (***)

b = c - 4, de donde despejas: b + 4 = c (****)

N = xa

N = yb (*****)

N = zc

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (*) (**) (***) (****) (*****) en las demás ecuaciones y el sistema queda:

yb = (y + 3)(b - 1)

yb = (y - 9)((b + 4)

desarrollas los segundos miembros, cancelas términos y queda:

0 = - y + 3b  - 3, de donde puedes despejar: y = 3b - 3 (******)

0 = 4y - 9b - 36

luego sustituyes en la segunda ecuación y queda:

0 = 4(3b - 3) - 9b - 36, distribuyes, reduces términos semejantes y queda:

0 = 3b - 48, de donde puedes despejar: b = 16;

luego reemplazas en la ecuación señalada (******), resuelves y queda: y = 45,

luego reemplazas en la ecuación señalada (*****), resuelves y queda: N = 720 (que es la respuesta que pide el enunciado del problema);

luego reemplazas en la ecuación señalada (****), resuelves y queda: 20 = c;

luego reemplazas en la ecuación señalada (***), resuelves y queda a = 15;

luego reemplazas en la ecuación señalada (**), resuelves y queda: 36 = z;

luego reemplazas en la ecuación señalada (*), resuelves y queda: x = 48.

Luego, concluimos que la obra tiene 720 páginas, y que:

Óscar leyó 48 páginas diarias y tardó 15 días en leerla,

Bea leyó 45 páginas diarias y tardó 16 días en leerla,

Ainhoa leyó 36 páginas diarias, y tardó 20 días en leerla.

Espero haberte ayudado.

A) Correcto.

B) No, variaciones con repetición,  9^9.