Recuerda la expresión de la distancia entre una recta r cuya ecuación cartesiana explícita tiene la forma: y = m*x + b, y un punto exterior a ella (E(h,k)):
d(r,A) = |k-m*h-b|/√(1+m2) (1).
Luego, tienes que el punto C(2,3) pertenece a la recta, por lo que reemplazas sus coordenadas en la ecuación de la recta r, y queda:
3 = m*2 + b, haces pasaje de término, y queda: 3 - m*2 = b, permutas factores en el segundo término del primer miembro, y queda:
3 - 2*m = b (2).
Luego, tienes el punto exterior: E(-2,3), por lo que remplazas sus coordenadas h = -2, k = 3) en la ecuación señalada (1), y queda:
d(r,A) = |3-m*(-2)-b|/√(1+m2), resuelves el segundo término en el argumento del valor absoluto en el numerador, y queda:
d(r,A) = |3+2*m-b|/√(1+m2) (1*).
Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1*), y queda:
d(r,A) = |3+2*m-(3-2*m)|/√(1+m2), resuelves el argumento del valor absoluto, y queda:
d(r,A) = |4*m|/√(1+m2) (3).
Luego, tienes el valor de la distancia en tu enuciado:
d(r,A) = 8*√(5)/5, sustituyes la expresión señalada (3) en el primer miembro, y queda:
|4*m|/√(1+m2) = 8*√(5)/5, elevas al cuadrado y resuelves en ambos miembros, y queda:
16*m2/(1+m2) = 64/5, haces pasajes de divisores como factores, y queda:
80*m2 = 64*(1+m2), distribuyes en el segundo miembro y queda:
80*m2 = 64 + 64*m2, divides por 16 en todos los términos de la ecuación, y queda:
5*m2 = 4 + 4*m2, haces pasaje de término, y qeuda:
m2 = 4, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:
1)
m = -2, reemplazas en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda: 7 = b,
luego, reemplazas los valores remarcados en la ecuación de la recta (que hemos remarcado al comienzo), y queda:
y = -2*x + 7;
2)
m = 2, reemplazas en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda: -1 = b,
luego, reemplazas los valores remarcados en la ecuación de la recta (que hemos remarcado al comienzo), y queda:
y = 2*x - 1.
Espero haberte ayudado.
