Fíjate que en ambos casos el numerador es muy parecido a la derivada del denominador (con algún factor constante para hacerlo ).
Entonces es una sustitución u= denominador, du/dx = derivada .... La integral de du/u es el logaritmo neperiano de u. ..... Ánimo atrévete a hacer los pasos concretos!

Te ayudamos Maria:

Ahora chulea la integral por fracciones parciales Maria :-)

Si la primera era muy sencilla, pero la segunda luego me queda una integral que no me sale

Termina el ejercicio Maria :-) pregunta si te atoras

Muchas gracias por su tiempo y su ayuda!! Me habia trabado porque no sabia que en el numerador de la fraccion iba (cu+d)

Un gusto María :-) estamos para ayudaros

Recuerda que: sin²(5x)=1-cos²(5x). Entonces:
sin²(5x)+cos(5x)+11=0→1-cos²(5x)+cos(5x)+11=0→cos²(5x)-cos(5x)-12=0
Ahora solo queda resolver la ecuacion cuadrática para cos(5x):
cos(5x)={1±√[(-1)²-4(1)(-12)]}/[2(1)]
Ya con eso puedes seguir supongo...

el problema esque me da 4 y -3 ,no habria soluciones validas no?

Da esos valores, entonces tienes que:
cos(5x)=4
cos(5x)=-3
Y como bien dices, no hay soluciones en los reales pues -1≤cos(5x)≤1

Va la ayuda, Toby:

Va, Nahuel:

Déjanos un ejercicio Sebastian e intentaremos ayudarte :-)

Pregunta concreta, por favor.

Mírate:
Funciones

Debes tomar en cuenta las dimensiones de los espacios vectoriales, y la relación entre ellas:
Sea la transformación lineal T: V ---> W, entonces dim(N) + dim(I) = dim(V)
con:
V: dominio de la transformación
W: codominio de la transformación
N: núcleo de la transformación (observa que N es subespacio de V, por lo tanto dim(N) <= dim(V))
I: imágen de la transformación (observa que I es subespacio de W, por lo tanto dim(I) <= dim(W)).
Luego la transformación es sobreyectiva cuando dim(I) = dim(W), y la transformación es inyectiva cuando dim(N) = 0 (observa que corresponde a que el núcleo es el subespacio con el vector nulo de V como único elemento).
En el primer caso:
V = R^2, y dim(V) = 2
W = R^3, y dim(W) = 3
si suponemos que la transformación es sobreyectiva, tenemos que:
I = R^3 y dim(I) = 3;
ahora planteamos la relación entre las dimensiones:
dim(V) = dim(N) + dim(I)
reemplazamos y queda:
2 = dim(N) + 3
despejamos y queda:
-1 = dim(N)
lo que resulta absurdo, porque las dimensiones toman valores naturales, por lo tanto concluimos que la transformación T no es sobreyectiva.
En el segundo caso:
V = R^4 y dim(V) = 4
W = R^2 y dim(W) = 2, observa que dim(I) <= 2
si suponemos que la relación es inyectiva entonces tenemos que dim(N) = 0
ahora planteamos la relación entre las dimensiones:
dim(V) = dim(N) +dim(I)
reemplazamos y queda:
4 = 0 + dim(I)
con lo cuál llegamos a;
dim(I) = 4
lo que resulta absurdo, ya que I es subespacio de W, por lo que su dimensión puede ser, a lo sumo, igual a 2, por lo tanto la transformación no puede ser inyectiva.
Espero haberte ayudado.

Tremenda explicación! estoy muy agradecido, gracias!

quieres decir en coordenadas polares en terminos de razones trigonometricas?

Puedes comenzar por llevar la expresión a su forma canónica, por medio del método de completar binomios elevados al cuadrado.
Ordenamos términos y hacemos pasaje de uno de ellos y queda:
x^2 + 4x + y^2 + 6y = 23
luego sumamos en ambos miembros términos numéricos (iguales a los cuadrados de los coeficientes de x e y en los términos lineales):
x^2 + 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 23 + 4 + 9
luego, expresamos los trinomios como binomios elevados al cuadrado, resolvemos a la derecha y queda:
(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 36
que es la ecuación canónica de una circunferencia con centro en el punto C(-2,-3), y radio R = V(36) = 6.
Luego, la forma más práctica para parametrizar circunferencias es por medio de funciones trigonométricas:
x +2 = 6*cost
y + 3 = 6*sent
con el intervalo paramétrico: 0 <= t < 2pi
por último, despejamos las expresiones y queda:
x = -2 + 6*cost
y = -3 + 6*sent
con el intervalo paramétrico: 0 <= t < 2pi.
Espero haberte ayudado.

Pura vida Antonio muchas gracias.

El resultado, efectivamente, no es 0,73. Debes consultar si se trata de un error de impresión o copiado. Y ten en cuenta que siempre se expresan en radianes los argumentos de las funciones trigonométricas.
Espero haberte ayudado.

Te mandamos el desarrollo Cristian:

Antonio, el desarrollo es como el mio, pero veo que los resultados no me dan, yo prmero hago la integral como si no fuera una integral definida,= hago la integral (I) y le sumo la otra integral (J) luego entonces se forma la integral final (bien larga)que seria el resultado, y hago la resta usando pi/2 (b) menos la misma integral usando como valor el cero (a),, pero veo que vos reemplazaste en "I" un valor y en "J" otro valor.
Si me decis que valores usaste para reemplazar en cada integral ( i y J) me solucionas el tema. ademas de aclararme por que no resolviste la integral completa como yo y luego remplazaste los valores, gracias

En el ejercicio b):
Primero observa que el numerador tiende a cero, y que el denominador también tiende a cero, por lo que el límite es indeterminado.
Luego puedes investigar siguiendo caminos que pasen por el punto de estudio (0,0)
Camino1: y = 0 (eje de abscisas) Lím (x -->0) x^2 / x^2 = 1
Camino2: x = 0 (eje de ordenadas) Lím (y -->0) 0 /y^2 = 0
y como puedes apreciar, los caminos nos han conducido a resultados distintos, por lo que concluimos que el límite no existe.
Espero haberte ayudado.