La ecuación general de la recta es;
y=mx+n
Nos dicen que que la pendiente de una recta cuando pasa por el punto (3,2) es 3/4 (m en la ecuación), sustituimos los datos que sabemos en la ecuación general, y calculamos el término n:
2=3/4·3+n despejando, n=-1/4
Ya tenemos la ecuación de la recta, y=3x/4+1/4, ahora basta con elegir un punto y buscar un punto que diste de nuestro punto 5 unidades.
Para tomar este punto, basta con tomar por ejemplo x=0, y para calcular el valor y, simplemente sustituimos en la ecuación de la recta, por tanto y=1/4, por lo que tenemos nuestro punto es p=(0, 1/4).
Ahora queremos calcular un punto q=(x,y) que diste del nuestro 5 unidades, y además, que esté en la recta, ¿Cómo?
d(p, q)=5
Por definición de distancia euclidea, que es la que estarás utilizando seguramente, tienes que:
d(p, q)=Sqrt[(0-x)^2+(1/4-y)^2]=5
Tenemos entonces, la siguiente ecuación x^2+(y-1/4)^2=25
Procedemos ahora a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x^2+(y-1/4)^2=25
y=3x/4+1/4

Te dará dos soluciones el sistema, pues cualquiera de las dos soluciones dista del punto p 5.
¡Un saludo!

Lo de la euclidiana no lo entiendo , habra otro metodo de resolverlo?
Gracias

Te dejo aquí lo que es la distancia Euclidea

Por si te sirve de ayuda:

Me cuesta un poco seguir todas las operaciones en línea, pero tú resultado es correcto y tu planteamiento también. Saludos.

Después de hacerlo varias veces me dio el mismo resultado que a ti. El procedimiento que seguistes también lo seguí yo mientras hacía el ejercicio, así que imagino que estará bien. Saludos y gracias por la duda, así también practico un poco ^^!

¡Hola!
Supongo que sabrás el Teorema del valor medio de Lagrange.
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que (f(b)-f(a)/(b-a))=f'(c)

Ahora notemos algo; el teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada y la integral son operaciones inversas, integremos en la igualdad anterior y obtenemos un resultado del Teorema de Lagrange en forma de integral;
Adjunto una imagen.

Muchas gracias amigo! Si, el teorema para las derivadas lo sabía pero ese no lo tenía jeje saludos y feliz navidad!

Ahí va:

f(x) = -x²+5x-6 en Dom(f) = (1,3) → 1 < x < 3

f es una función polinómica de grado 2 correspondiente a una parábola de ramas hacia abajo, por ser negativo el coeficiente de la x de mayor grado (-1). Además, por ser polinómica es también contínua en todo su dominio.
Su vértice se encuentra en x = 5/2 ∈ Dom(f) (x = -b/(2a)). Luego en x = 5/2 hay un máximo absoluto que toma el valor 1/4 = f(5/2). Así f es creciente en el intervalo (1, 5/2) y decreciente en (5/2, 3).
Si estudiáramos los valores que toma f en los extremos del intervalo cerrado [1, 3] obtendríamos que f(1) = -2 y f(3) = 0. De lo que se deduce que el rango o recorrido de f es Rec(f) = (-2, 1/4] → -2 < f(x) ≤ 1/4 siendo 1 < x < 3.
Así, f está acotada por ambos extremos, siendo la mayor de las cotas inferiores (ínfimo) el -2 y la menor de las cotas superiores (supremo) el 1/4 = f(5/2), que coincide con el máximo absoluto de f en el dominio fijado x ∈ (1, 3).

José Carlos he entendido todo el proceso, pero la conclusión no la entiendo me la puedes explicar?

Es que en las soluciones del libro pone esto:
La función es continua en un intervalo cerrado. Por Weierstrass, existe máximo y mínimo. Supremo y máximo
en x = 2,5 y vale M = 0,25. Ínfimo y mínimo en x = 1 y vale m = −2.

Hola Cristina
El problema está en que escribiste un intervalo abierto y no uno cerrado. Tened cuidado con las notaciones, son muy importantes. Intervalos cerrados entre corchetes, intervalos abiertos entre paréntesis. Te lo reescribo:
f(x) = -x²+5x-6 en Dom(f) = [1,3] → 1 ≤ x ≤ 3

f es una función polinómica de grado 2 correspondiente a una parábola de ramas hacia abajo, por ser negativo el coeficiente de la x de mayor grado (-1). Además, por ser polinómica es también contínua en todo su dominio. El teorema de Weierstrass garantiza la existencia del máximo y mínimo ABSOLUTOS. Busquémoslos:
Su vértice se encuentra en x = 5/2 ∈ Dom(f) (x = -b/(2a)). Luego en x = 5/2 hay un máximo absoluto que toma el valor 1/4 = f(5/2). Así f es creciente en el intervalo [1, 5/2) y decreciente en (5/2, 3].
Si estudiamos los valores que toma f en los extremos del dominio obtenemos que f(1) = -2 y f(3) = 0. De lo que se deduce que el rango o recorrido de f es Rec(f) = [-2, 1/4] → -2 ≤ f(x) ≤ 1/4 siendo 1 ≤ x ≤ 3.
Así, f está acotada por ambos extremos, siendo la mayor de las cotas inferiores (ínfimo) el -2, que coincide con el mínimo absoluto por ser el dominio un intervalo cerrado. Y la menor de las cotas superiores (supremo) el 1/4 = f(5/2), que coincide con el máximo absoluto de f en el dominio fijado x ∈ [1, 3].

Para construir a partir de x el recorrido de la función habría que proceder de otra manera a mi entender:
f(x) = -x²+5x-6 = - [x²-5x+6] = - [(x - 5/2)² - 1/4]
1 ≤ x ≤ 3 → Sumamos - 5/2
-3/2 ≤ x - 5/2 ≤ 1/2 → Elevamos al cuadrado y acotamos por 0 y el mayor de los cuadrados.
0 ≤ (x - 5/2)² ≤ 9/4 → Sumamos (- 1/4)
-1/4 ≤ [(x - 5/2)² - 1/4] ≤ 2 → Multiplicamos todo por -1
-2 ≤ - [(x - 5/2)² - 1/4] ≤ 1/4
-2 ≤ -x²+5x-6 ≤ 1/4 → Aquí tenemos el recorrido de f con su ínfimo -2 en x=1 y su supremo 1/4 en x=5/2.
Espero que ahora te haya quedado resuelta la duda.

¿como encuentras los vertices?

La ecuacion general de una parábola es f(x) = ax² + bx + c
El vértice está siempre en x = -b / (2a)

ya he entendido de donde sale el vertice y llego hasta los dominios pero en el rango y recorrido me pierdo me podrias decir como se saca?

Mírate este video a ver si te sirve:
Rango, recorrido o imagen de una funcion

Habría estado genial que hubieras indicado paso a paso todo lo que hiciste, estuviera bien o mal.
Habría sido más fácil ayudarte y el trabajo duro habría sido el tuyo...
Para empezar haría cambio de variable x=-t, de modo que sustituimos x por (-t) y el limx->-∞ será lim t->∞....

lim (t->∞) de -t*ln(1+e^(-t)) = lim (t->∞) de -t / (1/ln(1+e^(-t)) = -∞/∞ = LHOPITAL ...
= lim (t->∞) de -1/ [(e^(-t)/(1+e^(-t))/ ln²(1+e^(-t)] = - lim (t->∞) de 1/ [e^(-t)/ (2(1+e^(-t)).ln(1+e^(-t))] = - lim (t->∞) de 2(1+e^(-t)).ln(1+e^(-t)) /(e^(-t)) =
= -2. lim (t->∞) de (1+e^(-t)).ln(1+e^(-t)) /(e^(-t)) = -2. lim (t->∞) de [ln(1+e^(-t)) /e^(-t)] - 2.lim (t->∞)de [e^(-t).ln(1+e^(-t)) /e^(-t)] =
= -2. lim (t->∞) de [ln(1+e^(-t)) /e^(-t)] - 2.lim (t->∞)de ln(1+e^(-t)) = -2. lim (t->∞) de [ln(1+e^(-t)) /e^(-t)] -0 = -2. lim (t->∞) de [ln(1+e^(-t)) /e^(-t)] = 0/0
De nuevo LHOPITAL.... -2. lim (t->∞) de [(-e^(-t)/ (1+e^(-t)) / (-e^(-t))] = -2. lim (t->∞) [e^(-t)/ ((1+e^(-t)).e^(-t))] = -2. lim (t->∞) [1/(1+e^(-t))] =-2...

Segun WOLFRAM, el limite es 0 (¿¿??), pero lo he revisado varias veces y no encuentro mi "posible error". Revisa detenidamente lo que hice y compruebalo ¿ok? Espero te haya ayudado, al menos para seguir los pasos fundamentales...
Te sugiero los vídeos de "LIMITES CON CAMBIO DE VARIABLE" y el de "REPRESENTACION FUNCION EXPONENCIAL" #nosvemosenclase

profe de donde saco el 2 que aparece ahí "- lim (t->∞) de 1/ [e^(-t)/ (2(1+e^(-t)).ln(1+e^(-t))]"?

Te adjunto una imagen :)
El límite es cero, ahí tienes todo el razonamiento; he tratado de escribir todos los pasos, si hay algún paso que no entiendes me dices ;-)

Hola José Carlos, no entiendo cuando pasas de lim (x-->∞) de (-e^x*x^2)/(1+e^x) a lim(x-->∞) de (x^2)/(1+1/e^x).

Me parece entender que divides numerador y denominador entre e^x, sin embargo no es una indeterminación [∞/∞].
Gracias :)

*

Saco factor común e^x, para sacar e^x de 1, debo dividir entre e^x, y luego simplifico:
== (x^2e^x)/(1+e^x) -> saco factor común e^x -> (e^x x^2)(e^x(1/e^x+1)) (Nota que e^x(1/e^x+1)=(1+e^x)) por último simplificamos y llegamos a x^2/(1+e^x), lo demás es consecuencia de la nota que pone en el margen.
El razonamiento de Mr. A también es correcto.
Respecto a tu comentario, "Me parece entender que divides numerador y denominador entre e^x, sin embargo no es una indeterminación [∞/∞].
Gracias :)" No hay que hacer operaciones según unos algoritmos marcados, o unos procedimientos marcados, mientras hagas cosas que sean verdad, llegarás a un resultado correcto, y en este caso, estoy trabajando con verdades :)

Ésto que ha dicho José Carlos me parece perfecto: "No hay que hacer operaciones según unos algoritmos marcados, o unos procedimientos marcados, mientras hagas cosas que sean verdad, llegarás a un resultado correcto".
La mayoría de los ejercicios se pueden hacer de muchas formas. Es importante buscar aquellos métodos "más rápidos" de cara a un examen, pero los planteamientos a los que llegue uno con sus propios razonamientos nos permitirán adquirir determinados conocimientos a los que no llegaríamos si sólo nos dedicásemos a mecanizar determinados métodos.
Saludos a ambos.

No entiendo la parte en la que dice "cuya suma de coordenadas al origen".... Lo siento...

Usa la forma simétrica de la ecuación de la recta x/a + y/b=1, después sustituye tu punto y además plantea la ecuación a+b=4, de ahí despeja una variable y sustitúyela en la forma simétrica de tal modo que -3/ a+ 5/(4-a)=1 así encuentras a, luego b y al final planteas la forma simétrica. Suerte (Solución: 10x-6y+60=0, x+y-2=0)

No aparece ningún limite, quizá se te olvido ponerlo.

Pues si, estaba lento el internet y no lo anexo. Aqui va.

Puedes expresar el limite como lim [ ln|x| / (1/√|x|) ] y de ahí aplicar l'Hopital; derivando numerador y denominador queda lim [-2√|x| ]. Eso es -2 lim √|x| = 0 , cuando x tiene a 0

Se me olvido mientras respondía pero ahí un vídeo sobre el tema Limite cero por infinito (L'Hopital)

Ojo, que te de una raíz de un cuadrado no perfecto no significa que no se pueda hacer, la raíz es un número irracional dentro de los números reales así que puedes resolverla igualmente y te quedaría x< (-3±√5)/-2 , si no me equivoco. Cuando no podrías hacerla es cuando la raíz cuadrada fuera de un número negativo (que aún así en las inecuaciones, algunas tienen solución aún teniendo raíz negativa.) Como consejo revisa este vídeo: http://www.unicoos.com/unicoosWeb/videos/video/2097

Saludos!!

Ojala y te sirva :)

La raíz cuadrada de cinco es una respuesta valida. No sería valida si la raíz cuadrada fuese negativa.

¡Buenas! Ya tiene vídeos sobre ecuaciones racionales y irracionales, con buscar un poco los encontrarás. Mira aquí:
www.unicoos.com/unicoosWeb/leccion/223

Saludos!!!!

¡Buenos días mireia! Espero que este vídeo sea el que buscabas https://www.youtube.com/watch?v=Kn15S7w4IA8 para factorizar los polinomios a uno de segundo grado y resolver la ecuación con la fórmula, te dejo también un vídeo de ecuaciones bicuadradas: https://www.youtube.com/watch?v=GpsgWkhieC8 , si no es así dejame un comentario y busco otro ^^ .
Saludos!!