1°)

P(1):

2¹ ≥ 2*1 es Verdadera.

2")

P(h):

2^h ≥ 2h, con h ∈ N, h ≥ 1, es la Hipótesis Inductiva, que aceptas como Verdadera.

3°)

P(h+1):

2^h+1 ≥ 2(h+1) = 2h+2, es la Tesis Inductiva, que debes mostrar que es Verdadera.

4°)

Demostración:

2^h+1 = 2^h*2 ≥ aplicas la Hipótesis ≥ 2h*2 = 2h*(1+1) = 2h + 2h ≥ recuerda que h es mayor o igual que uno ≥ 2h + 2*1 = 2h+2 = 2(h+1);

luego, por la cadena de igualdades y desigualdades, tienes que la Tesis Inductiva es Verdadera.

Espero haberte ayudado.

Lamento de todo corazon no poder ayudarte, pero unicoos (por ahora) solo llega hasta bachiller con matemáticas, física y química. Tu duda se da en la "uni". Espero lo entiendas... 

Puedes plantear las sustituciones:

u = y/x (observa que u es una función de dos variables: x, y), cuyas derivadas parciales quedan:

u_x = -y/x²,

u_y = 1/x;

v = z/x (observa que u es una función de dos variables: z, x), cuyas derivadas parciales quedan:

v_x = -z/x²,

v_z = 1/x;

observa que debe cumplirse la condición: x ≠ 0;

y observa también que debes tener muy en cuenta que z es una función de las variables x e y, que está definida implícitamente,

por lo que puedes plantear:

z = g(x,y), cuyas derivadas parciales quedan expresadas:

z_x = g_x,

z_y = g_y.

Luego, tienes la ecuación implícita:

f(u,v) = 0,

luego, derivas implícitamente con respecto a x y con respecto a y  (ten precaución cuando derives con respecto a z, porque es una función),

y queda el sistema de ecuaciones:

f_u*u_x + f_v*v_x + f_v*v_z*z_x = 0,

f_u*u_y + f_v*v_z*z_y = 0;

luego, haces pasajes de términos en ambas ecuaciones, y queda:

f_v*v_z*z_x = - f_u*u_x - f_v*v_x,

f_v*v_z*z_y = - f_u*u_y;

haces pasajes de factores como divisores, y queda:

z_x = - (f_u*u_x + f_v*v_x) / (f_v*v_z),

z_y = - f_u*u_y / f_v*v_z,

y observa que deben cumplirse las condiciones: f_v ≠ 0, v_z ≠ 0.

Luego, queda que sustituyas las expresiones que hemos planteado al comienzo en las ecuaciones remarcadas,

y también en las expresiones de las condiciones que hemos remarcado.

Espero haberte ayudado.

La diferenciación logarítmica es también muy útil para calcular derivadas de funciones expresadas como productos y cocientes de muchos factores. Al tomar logaritmos se transforman los productos y cocientes en sumas y diferencias, lo cual facilita el cálculo con respecto a la utilización de las reglas del producto y del cociente, especialemente si la derivada debe calcularse en un punto concreto.

Saludos.

a)

Observa que el conjunto generador tiene tres elementos, por lo que la dimensión del subespacio U no puede ser mayor que 3.

Luego, plantea la matriz cuyas filas son los vectores del conjunto, a fin de estudiar su dependencia o independencia lineal, y aplica el Método de Gauss a fin de obtener la matriz escalonada asociada:

 1   4    3    2

 1   2    0    2

-1   0    2   -2

A la segunda fila le restas la primera fila, a la tercera fila le sumas la primera fila, y queda:

1    4    3    2

0   -2   -3    0

0    4    5    0

A la tercera fila le sumas el doble de la segunda fila, y queda:

1    4    3    2

0   -2   -3    0

0    0   -1    0

Luego, como la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, tienes que la dimensión del subespacio U es tres: dim(U) = 3,

y, por lo tanto, tienes que el conjunto generador de tu enunciado es una base de U.

b)

Plantea que una combinación lineal de los vectores de la base de U es igual al vector en estudio v (observa que indicamos con x, y, z a los números reales, que no deben ser todos iguales a cero, que debemos determinar):

x<1,4,3,2> + y<1,2,0,2> + z<-1,0,2,-2> = (*), resuelves los productos en los términos del primer miembro, y queda:

+ + <-z,0,2z,-2z> = , resuelves la suma en el primer miembro, y queda:

< x+y-z , 4x+2y , 3x+2z , 2x+2y-2z > = < a , 2a , a+1 ,a+2 >, luego, por igualdad entre vectores, tienes el sistema de ecuaciones:

x + y - z = a

4x + 2y = 2a, aquí divides por 2 en todos los términos de la ecuación, haces pasaje de término, y queda: y = a - 2x (1),

3x + 2z = a+1

2x + 2y - 2z = a+2;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones, reduces términos semejantes, haces pasajes de términos, y queda:

-x - z = 0, aquí haces pasaje de término, luego multiplicas en ambos miembros por -1, y queda: z = -x (2),

3x + 2z = a+1

-2x - 2z = -a+2;

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en las demás ecuaciones, reduces términos semejantes, y queda:

x = a+1 (3),

0 = -a+2, aquí haces pasaje de término, y queda: a = 2;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (3), y queda: x = 3;

luego, reemplazas el segundo valor remarcado en la ecuación señalada (2), y queda: z = -3;

luego, reemplazas los dos primeros valores remarcados en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda: y = -4.

Luego, reemplazas todos los vectores remarcados en la ecuación vectorial señalada (*),

y tienes el vector v expresado como combinación lineal de los elementos de la base del subespacio U:

3<1,4,3,2> - 4<1,2,0,2> - 3<-1,0,2,-2> = <2,4,3,4.> = v.

Espero haberte ayudado.

Te sugiero estos videos... 

Polinomio característico - Cayley-Hamilton

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Explícate un poco mejor Hugo, o pon algún ejemplo.